Задача Больца

Если функционал представлен в виде:

, причем верхние и нижние границы в общем случае могут быть нефиксированы, то это – задача Больца. Если => задача Лагранжа, => задача Майера.

Пример задачи Больца: Для объекта, описанного некоторой системой уравнений, найти оптимальное управление и траекторию обеспечивающих минимальный расход энергии при переводе из начального в конечное состояние за произвольное время, причем производная от координаты в конце интервала времени должны быть минимальной:

;

;

;

.

Поскольку значение искомых функций на границах интервала интегрирования, вошедшие в функцию , подлежат поиску из условия обеспечения экстремума функционала, следовательно, они должны быть исключены из жестких граничных условий, т.е. их нельзя задавать численно. Недостаточные граничные условия для поиска констант интегрирования в этом случае восполняют условиями трансверсальности. Граничные условия могут быть заданы в виде гиперповерхностей, описываемых функциями

Если функционал задан или записан в результате ввода новых переменных в виде: ,

и дифференциальные уравнения, описывающие элементы системы, так же, как и в задаче Лагранжа можно записать в форме Коши, то составляем функцию Гамильтона, а из неинтегральной части критерия и граничных условий составляем дополнительно функцию , аналогичную функции Лагранжа:

,

где - неопределенные множители, причем .

Условия трансверсальности для смешанной задачи были получены ранее из вариации функционала при изменении верхнего и нижнего пределов. Так, при вариации верхнего предела

.

Подставляя вместо функцию Лагранжа, вместо - функцию , и учитывая использование неопределенных множителей Лагранжа вариации и будем считать независимыми. Для независимых и условия трансверсальности записываются:

,

или

При использовании функции Гамильтона с учетом зависимостей , , получаем:

Аналогично для вариации нижней границы

.