2015-06-04
1356
Функция, заданная в виде отношения двух многочленов
называется рациональной функцией или рациональной дробью.
Если 
рациональная дробь называется правильной; в противном случае – неправильной.
Если дробь неправильная, то нужно выделить целую рациональную часть, используя алгоритм деления многочленов “углом”, и представить исходную дробь в виде суммы целой рациональной функции и правильной дроби.
Пример 1. Выделить целую часть дроби: 
Решение:
Таким образом, 
Любая правильная рациональная дробь может быть разложена на сумму конечного числа простейших рациональных дробей. Различают четыре типа таких дробей:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
,
при этом предполагается, что трехчлен 
не имеет вещественных корней.
Рассмотрим интегрирование дробей первых трёх указанных типов
|
|
|
Четвертый тип вычисляется с использованием понижения степени k.
Всякий многочлен с вещественными коэффициентами степени выше второй разлагается на линейные и квадратные множители с вещественными коэффициентами.
|
|
|
Каждому неповторяющемуся множителю вида 
отвечает в разложении простая дробь 
, каждому множителю 
отвечает сумма k простых дробей вида:
.
Неповторяющемуся множителю 
отвечает одна простая дробь 
, где A1, A2, …, Ak, C,D - числовые коэффициенты.
Для определения последних коэффициентов прибегают к методу неопределенных коэффициентов, который состоит в следующем:
1) записывают дробь 
в виде суммы простых дробей; дроби приводят к общему знаменателю; умножают обе части равенства на 
, вследствие чего получают равенство двух многочленов - слева многочлен 
с известными коэффициентами, а справа многочлен с неизвестными коэффициентами;
2) приравняв у них коэффициенты при одинаковых степенях x,получают систему линейных алгебраических уравнений.
Пример 2. Разложить на простые дроби следующую дробь: 
.
Решение: 
Таким образом,
Пример 3. Разложить на простые дроби следующую дробь:
.
Решение:
(â)
В рассматриваемом примере некоторые коэффициенты можно определить методом частных значений. Для этого положим, 
, 
и подставим вместо x их в равенство (â)
Для определения C и D сравним коэффициенты при х2 и х3.
Таким образом, 
Пример 4. Найти интеграл: 
.
Решение: подынтегральная дробь – неправильная. Выделим целую часть; для этого делим числитель на знаменатель:
|
.
Имеем:
Пример 5. Найти интеграл: 
.
Решение. Данная дробь – правильная. Разлагаем знаменатель на множители:
.
Числитель не делится ни на один из этих множителей, так что дробь не сокращается. Все множители – первой степени и ни один не повторяется.
|
|
|
Способом, указанным в примере 2, находим 
Получаем:
Пример 6. Найти интеграл: 
.
Решение. Представим дробь в виде суммы дробей и определим коэффициенты способом, указанным в примерах 2, 3:
Получаем разложение данного интеграла:
