Производная и интеграл

Рис. 2. Пример графического дифференцирования.

Производной функции y = f(x) по аргументу x называется предел lim(Dy/Dx) отношения приращения функции Dy к приращению аргумента Dx, когда Dx®0. обозначается производная –

f^/(x) = df/dx. (2.7)

Геометрически производная функции в точке Х ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой У₀. Физический смысл производной, функции определяется физическим смыслом самой функции y и физическим смыслом аргумента x. Неопределенным интегралом для функции f(x) называется совокупность функций F(x), определяемых условием dF(x)/dx = f(x), и записывается в форме

F(x) = ò f(x) + C (2.8)

с неопределенной постоянной интегрирования С.

Рис. 3. Пример графического интегрирования.

Определенный интеграл от f(x) по интервалу с границами a и b определяется и обозначается:

_aò^b f(x)dx = F|_a^b = F(b) - F(a). (2.9).

Рис. 4. Пример графического интегрирования FsiΔsi.

Необходимо отметить, чтонеопределенный интеграл ФУНКЦИЯ, а определенный интеграл всегда ЧИСЛО.

Операции дифференцирования и интегрирования являются противоположными по действию. Каждая из этих операций может быть выполнена повторно несколько раз, приводя к образам высшего порядка.

Графически функция обычно изображается в виде кривой:

а) производная от этой функции, в конкретной точке на графике определяется тангенсом угла между касательной в данной точке кривой и осью координаты x (t);

б) определенный интеграл от этой функции, в пределах от a до b определяется величиной полщади под данной кривой

(в единицах произведения размерности у на размерность х), ограниченной пределами а и b, осью х и кривой.