Глава 7. интегральные критерии качества управления

Метод интегральных оценок позволяет получить в результате вычисления определенных интегралов суммарную ошибку за все время процесса управления. Интегральная оценка характеризуется подинтегральной функцией, которая выбирается с таким расчетом, чтобы оценка лучше характеризовала качество переходного процесса и выражалась возможно проще через коэффициенты уравнения исследуемой системы. Если внешнее воздействие является единичной скачкообразной функцией, то интегральную оценку рассматривают, как площадь, ограниченную кривой переходного процесса и заданным значением. Чем меньше площадь, тем меньше оценка, тем лучше качество переходного процесса. Линейные интегральные оценки позволяют вычислить площадь без непосредственного построения переходной характеристики и, следовательно, косвенно оценить качество переходного процесса. Интегральные оценки одновременно характеризуют две важные стороны процесса: быстроту затухания и величину отклонения управляемой переменной. Наиболее эффективно с их помощью удается сравнивать между собой близкие системы: лучшей считается та, у которой интегральная оценка будет наименьшей.

7.1 линейная ИНТЕГРАЛЬНАЯ оценка.

Данная оценка применяется для оценки монотонных переходных процессов. Линейная интегральная оценка обозначается через .

- ошибка рассогласования.

Линейная интегральная оценка определяется следующим образом:

Чем меньше оценка, тем лучше переходный процесс, тем лучше качество управления.

Достоинство данной оценки, то что ее можно вычислить, не вычисляя интеграл. Рассмотрим систему -го порядка, которая описывается следующим дифференциальным уравнением:

Проинтегрируем уравнение в пределах от 0 до :

Пусть система устойчива, т.е. .

- начальные условия.

Определим из последнего соотношения интегральную оценку:

т.е. для того чтобы найти линейную интегральную оценка, необходимо знать параметры системы и начальные условия.

Недостатком подобного метода определения качества управления является то, что он пригоден только для монотонных процессов. При немонотонных переходных процессах, за счет алгебраического суммирования различных по знаку площадей в графике , оценка мала, хотя сам переходный процесс плохой.

7.2 квадратичная ИНТЕГРАЛЬНАЯ оценка.

Для колебательных переходных процессов применяют квадратичную интегральную оценку , представляющую площадь, ограниченную кривой и осью абсцисс.

Данную оценку также можно вычислить по дифференциальному уравнению системы.

Пример: разомкнутая система имеет следующую передаточную функцию:

Передаточная функция, связывающая задающий сигнал и ошибку, имеет следующий вид:

Ошибка определится следующим образом:

Найдем квадратичную оценку, пользуясь формулами Парсиваля – Рэлея [5 ]; позволяющим вычислять квадратичные интегралы вида по Лапласовским изображениям подинтегральной функции:

7.3 усовершенствованная квадратичная ИНТЕГРАЛЬНАЯ оценка.

Для учета кратковременных, больших по амплитуде выбросов используют усовершенствованную квадратичную оценку. Она обозначается .

В улучшенной интегральной оценке введено значение производной и коэффициент .

Найдем минимум оценки:

Если

то интегральная оценка принимает минимально возможное значение:

определяет длительность переходного процесса:

Выбор определяется желаемой длительностью переходного процесса.

Пример: расчет системы по минимуму ошибки :

- рассогласование.

Усовершенствованная оценка определяется как сумма:

Передаточная функция разомкнутой системы:

Передаточная функция, связывающая задающее воздействие и рассогласование, имеет следующий вид:

Т.к. порядок данного уравнения равняется двум, то ошибка находится следующим образом [5]:

где .

Найдем лапласовское изображение производной:

Найдем , при котором оценка принимает минимальное значение:

Ключевые термины и понятия.

Квадратичная интегральная оценка. Определяется как и вычисляется по формулам Парсеваля, связывающих значение интеграла с коэффициентами

Лапласовского изображения подинтегральной функции. Пригодна также для колебательного переходного процесса.

Линейная интегральная оценка. , где - ошибка рассогласования. Наилучшая система та, в которой эта оценка имеет минимальное значение. Может быть вычислена по коэффициентам характеристического уравнения (параметрам системы) и начальным условиям. Пригодна только для монотонных переходных процессов.

Оценка качества. Количественная мера качества системы.

Усовершенствованная квадратичная интегральная оценка. . Введение в подинтегральную функцию производной ошибки позволяет учесть