2014-02-17
6082
Лекция 5
Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет вид
. (1)
Если это уравнение удается разрешить относительно 
, то получаем одно или несколько уравнений 
. Интегрируя эти, уже разрешенные относительно производной уравнения, найдем решения исходного уравнения (1).
Проинтегрируем, например, уравнение
. (2)
Разрешая это квадратное уравнение относительно , будем иметь: 
и 
. Интегрируя каждое из полученных уравнений, находим:
(3)
и
(4)
. Оба семейства решений удовлетворяют исходному уравнению.
Гладкими интегральными кривыми уравнения (2) будут также кривые, составленные из дуги интегральной кривой семейства (3) и дуги интегральной кривой семейства (4), если в общей точке они имеют общую касательную.
Еще пример. 
.
Представим данное уравнение в виде 
. Отсюда исходное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: 
. Решение первого из них 
и 
, а второго — 
.
Итак, уравнение (1) может быть проинтегрировано путем разрешения относительно и интеграции полученных при этом уравнений , уже разрешенных относительно производной.
Однако далеко не всегда уравнение (1) легко разрешается относительно и еще реже полученные после разрешения относительно уравнения 
легко интегрируются, поэтому часто приходится интегрировать уравнения вида (1) иными методами. Рассмотрим следующие случаи.
1. Уравнение (1) имеет вид
, (5)
причем существует по крайней мере один действительный корень 
этого уравнения.
Так как уравнение (5) не содержит 
и 
, то 
— постоянное. Следовательно, интегрируя уравнение , получим 
, или 
, но является корнем уравнения (5), следовательно, 
является интегралом рассматриваемого уравнения.
Пример 1. 
.
Интеграл этого уравнения — 
.
2. Не всегда уравнение (1) разрешается относительно производной и еще реже полученные после разрешения относительно производой уравнения легко интегрируются. Поэтому уравнения вида (1) часто приходится решать методом введения параметра.
а) Пусть уравнение 
можно разрешить относительно , т.е. записать в виде 
. Введя параметр 
, получим 
. Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив на основании введения параметра 
на 
, получим уравнение
,
т.е. уравнение вида 
. Если найдем решения этого уравнения в виде 
, то, воспользовавшись , получим решения исходного уравнения в параметрической форме: 
б) Пусть уравнение можно разрешить относительно 
, т.е. записать в виде 
. Введя параметр , получим 
. Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив, в силу введения параметра, на 
, получим уравнение
,
т.е. уравнение вида 
. Если найдем решения этого уравнения в виде 
, то воспользовавшись , получим решения исходного уравнения в параметрической форме: 
Пример. 
.
Это уравнение разрешаем относительно 
. Введем параметр 
. Из равенств 
и 
получим 
. Последнее уравнение имеет очевидные решения 
и 
. Остальные его решения найдем, записав уравнение в виде
.
Это уравнение является линейным. Решая его, находим 
. Таким образом, решения исходного уравнения имеют вид 
.
3. Уравнение (1) имеет вид
. (6)
Если это уравнение трудно разрешить относительно , то целесообразно ввести параметр и заменить уравнение (6) двумя уравнениями: 
и 
. Так как 
, то в данном случае 
, откуда 
и, следовательно, интегральные кривые уравнения (6) определяются в параметрической форме следующими уравнениями:
Если уравнение (6) легко разрешимо относительно 
, то почти всегда удобно в качестве параметра ввести 
. Тогда
.
Пример 2. 
.
Положим , тогда
, (7)
,
. (8)
Уравнения (7) и (8) определяют в параметрической форме семейство искомых интегральных кривых.
Пример 3. 
.
Полагаем 
; тогда
, (9)
,
(10)
или, исключая из уравнений (9) и (10), получим 
— семейство окружностей.
4. Уравнение (1) имеет вид
. (11)
Если это уравнение трудно разрешить относительно , то, как и в предыдущем случае, целесообразно ввести параметр и заменить уравнение (11) двумя уравнениями: 
и . Так как , то 
, откуда 
. Следовательно, искомые интегральные кривые в параметрической форме определяются уравнениями и .
В частности, если уравнение (11) легко разрешимо относительно , то обычно за параметр удобно взять .
Действительно, если 
, то, полагая , получим 
.
Пример 4. 
.
Полагаем ; тогда
, (12)
,
. (13)
Уравнения (12) и (13) являются параметрическими уравнениями семейства интегральных кривых.
Пример 5. 
.
Полагаем 
, тогда
, (14)
,
(15)
или, исключая из (14) и (15) параметр , получаем 
.
Рассмотрим теперь общий случай: левая часть уравнения (1) зависит от всех трех аргументов 
. Заменим уравнение (1) его параметрическим представлением:
.
Пользуясь зависимостью , будем иметь
,
откуда, разрешая относительно производной 
, получим
. (16)
В результате получено уравнение первого порядка, уже разрешенное относительно производной, и тем самым задача сведена к уже рассмотренной ранее. Однако, конечно, уравнение (16) далеко не всегда будет интегрироваться в квадратурах.
Если уравнение (1) легко разрешимо относительно , то за параметры 
и 
часто удобно брать и . Действительно, если уравнение (1) приводится к виду
, (17)
то, считая и 
параметрами, получим 
, или
,
. (18)
Интегрируя уравнение (18) (опять же, конечно, оно далеко не всегда интегрируется в квадратурах), получим 
. Совокупность уравнений и 
, где 
— параметр, определяет семейство интегральных кривых.
Заметим, что уравнение (18) может быть получено дифференцированием уравнения (17) по . Действительно, дифференцируя (17) по и полагая , получим , что совпадает с (18). Поэтому этот метод часто называют интегрированием дифференциальных уравнений с помощью дифференцирования.
Совершенно аналогично часто интегрируется уравнение (1), если оно легко разрешимо относительно :
. (19)
В этом случае, взяв за параметры и и пользуясь зависимостью , получим 
или
. (20)
Интегрируя уравнение (20), получим 
. Это уравнение совместно с 
определяет интегральные кривые исходного уравнения. Уравнение (20) может быть получено из уравнения (19) дифференцированием по .
В качестве примера применения этого метода рассмотрим линейное относительно и уравнение
,
называемое уравнением Лагранжа. Дифференцируя по и полагая , получим
, (21)
или
. (22)
Это уравнение линейно относительно и 
и, следовательно, легко интегрируется, например, методом вариации произвольной постоянной. Получив интеграл уравнения (22) и присоединяя к нему 
, получим уравнения, определяющие искомые интегральные кривые.
При переходе от уравнения (21) к уравнению (22) пришлось делить на 
. Но при этом мы потеряем решения, если они существуют, для которых постоянно, а значит 
. Считая постоянным, замечаем, что уравнение (21) удовлетворяется лишь в том случае, если является корнем уравнения 
.
Итак, если уравнение имеет действительные корни 
, то к найденным выше решениям уравнения Лагранжа надо еще добавить 
, или, исключая , 
— прямые линии.
Отдельно надо рассмотреть случай, когда 
, и следовательно, при делении на теряется решение 
, где 
— произвольная постоянная. В этом случае 
и уравнение принимает вид 
— уравнение Клеро. Полагая , получим 
. Дифференцируя по , будем иметь: 
, или 
, откуда или 
, и, значит, , или 
.
В первом случае, исключая , получим
(23)
— однопараметрическое семейство интегральных прямых. Во втором случае решение определяется уравнениями
и . (24)
Нетрудно проверить, что интегральная кривая, определяемая уравнениями (24), является огибающей семейства интегральных прямых (23).
Действительно, огибающая некоторого семейства 
определяется уравнениями
и 
, (25)
которые для семейства имеют вид 
и лишь обозначением параметра отличаются от уравнений (24).
Как известно, уравнения (25) могут определять, кроме огибающей, геометрические места кратных точек, а иногда и другие кривые, однако если хотя бы одна из производных 
и 
отлична от нуля и обе ограничены в точках, удовлетворяющих уравнениям (25), то эти уравнения определяют только огибающую. В данном случае эти условия выполнены: 
. Следовательно, уравнения (25) определяют огибающую, которая может выродиться в точку, если семейство (23) является пучком прямых.
Пример 6. 
— уравнение Клеро.
Однопараметрическое семейство интегральных прямых имеет вид 
. Кроме того, интегрально кривой является огибающая этого семейства, определяемая уравнениями и 
. Исключая , получаем 
.
Пример 7. 
— уравнение Лагранжа.
,
. (26)
Дифференцируя, получаем
(27)
и после деления на приходим к уравнению 
. Интегрируя это линейное уравнение, получаем 
. Следовательно, интегральные кривые определяются уравнениями , 
.
При делении на , как мы уже рассматривали, теряются решения , где 
— корни уравнения . В данном случае теряется решение уравнения (27), которому, в силу уравнения (26), соответствует решение исходного уравнения 
.
