Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Лекция 5

Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет вид

. (1)

Если это уравнение удается разрешить относительно , то получаем одно или несколько уравнений . Интегрируя эти, уже разрешенные относительно производной уравнения, найдем решения исходного уравнения (1).

Проинтегрируем, например, уравнение

. (2)

Разрешая это квадратное уравнение относительно , будем иметь: и . Интегрируя каждое из полученных уравнений, находим:

(3)

и

(4)

. Оба семейства решений удовлетворяют исходному уравнению.

Гладкими интегральными кривыми уравнения (2) будут также кривые, составленные из дуги интегральной кривой семейства (3) и дуги интегральной кривой семейства (4), если в общей точке они имеют общую касательную.

Еще пример. .

Представим данное уравнение в виде . Отсюда исходное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: . Решение первого из них и , а второго — .

Итак, уравнение (1) может быть проинтегрировано путем разрешения относительно и интеграции полученных при этом уравнений , уже разрешенных относительно производной.

Однако далеко не всегда уравнение (1) легко разрешается относительно и еще реже полученные после разрешения относительно уравнения легко интегрируются, поэтому часто приходится интегрировать уравнения вида (1) иными методами. Рассмотрим следующие случаи.

1. Уравнение (1) имеет вид

, (5)

причем существует по крайней мере один действительный корень этого уравнения.

Так как уравнение (5) не содержит и , то — постоянное. Следовательно, интегрируя уравнение , получим , или , но является корнем уравнения (5), следовательно, является интегралом рассматриваемого уравнения.

Пример 1. .

Интеграл этого уравнения — .

2. Не всегда уравнение (1) разрешается относительно производной и еще реже полученные после разрешения относительно производой уравнения легко интегрируются. Поэтому уравнения вида (1) часто приходится решать методом введения параметра.

а) Пусть уравнение можно разрешить относительно , т.е. записать в виде . Введя параметр , получим . Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив на основании введения параметра на , получим уравнение

,

т.е. уравнение вида . Если найдем решения этого уравнения в виде , то, воспользовавшись , получим решения исходного уравнения в параметрической форме:

б) Пусть уравнение можно разрешить относительно , т.е. записать в виде . Введя параметр , получим . Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив, в силу введения параметра, на , получим уравнение

,

т.е. уравнение вида . Если найдем решения этого уравнения в виде , то воспользовавшись , получим решения исходного уравнения в параметрической форме:

Пример. .

Это уравнение разрешаем относительно . Введем параметр . Из равенств и получим . Последнее уравнение имеет очевидные решения и . Остальные его решения найдем, записав уравнение в виде

.

Это уравнение является линейным. Решая его, находим . Таким образом, решения исходного уравнения имеют вид .

3. Уравнение (1) имеет вид

. (6)

Если это уравнение трудно разрешить относительно , то целесообразно ввести параметр и заменить уравнение (6) двумя уравнениями: и . Так как , то в данном случае , откуда и, следовательно, интегральные кривые уравнения (6) определяются в параметрической форме следующими уравнениями:

Если уравнение (6) легко разрешимо относительно , то почти всегда удобно в качестве параметра ввести . Тогда

.

Пример 2. .

Положим , тогда

, (7)

,

. (8)

Уравнения (7) и (8) определяют в параметрической форме семейство искомых интегральных кривых.

Пример 3. .

Полагаем ; тогда

, (9)

,

(10)

или, исключая из уравнений (9) и (10), получим — семейство окружностей.

4. Уравнение (1) имеет вид

. (11)

Если это уравнение трудно разрешить относительно , то, как и в предыдущем случае, целесообразно ввести параметр и заменить уравнение (11) двумя уравнениями: и . Так как , то , откуда . Следовательно, искомые интегральные кривые в параметрической форме определяются уравнениями и .

В частности, если уравнение (11) легко разрешимо относительно , то обычно за параметр удобно взять .

Действительно, если , то, полагая , получим .

Пример 4. .

Полагаем ; тогда

, (12)

,

. (13)

Уравнения (12) и (13) являются параметрическими уравнениями семейства интегральных кривых.

Пример 5. .

Полагаем , тогда

, (14)

,

(15)

или, исключая из (14) и (15) параметр , получаем .

Рассмотрим теперь общий случай: левая часть уравнения (1) зависит от всех трех аргументов . Заменим уравнение (1) его параметрическим представлением:

.

Пользуясь зависимостью , будем иметь

,

откуда, разрешая относительно производной , получим

. (16)

В результате получено уравнение первого порядка, уже разрешенное относительно производной, и тем самым задача сведена к уже рассмотренной ранее. Однако, конечно, уравнение (16) далеко не всегда будет интегрироваться в квадратурах.

Если уравнение (1) легко разрешимо относительно , то за параметры и часто удобно брать и . Действительно, если уравнение (1) приводится к виду

, (17)

то, считая и параметрами, получим , или

,

. (18)

Интегрируя уравнение (18) (опять же, конечно, оно далеко не всегда интегрируется в квадратурах), получим . Совокупность уравнений и , где — параметр, определяет семейство интегральных кривых.

Заметим, что уравнение (18) может быть получено дифференцированием уравнения (17) по . Действительно, дифференцируя (17) по и полагая , получим , что совпадает с (18). Поэтому этот метод часто называют интегрированием дифференциальных уравнений с помощью дифференцирования.

Совершенно аналогично часто интегрируется уравнение (1), если оно легко разрешимо относительно :

. (19)

В этом случае, взяв за параметры и и пользуясь зависимостью , получим или

. (20)

Интегрируя уравнение (20), получим . Это уравнение совместно с определяет интегральные кривые исходного уравнения. Уравнение (20) может быть получено из уравнения (19) дифференцированием по .

В качестве примера применения этого метода рассмотрим линейное относительно и уравнение

,

называемое уравнением Лагранжа. Дифференцируя по и полагая , получим

, (21)

или

. (22)

Это уравнение линейно относительно и и, следовательно, легко интегрируется, например, методом вариации произвольной постоянной. Получив интеграл уравнения (22) и присоединяя к нему , получим уравнения, определяющие искомые интегральные кривые.

При переходе от уравнения (21) к уравнению (22) пришлось делить на . Но при этом мы потеряем решения, если они существуют, для которых постоянно, а значит . Считая постоянным, замечаем, что уравнение (21) удовлетворяется лишь в том случае, если является корнем уравнения .

Итак, если уравнение имеет действительные корни , то к найденным выше решениям уравнения Лагранжа надо еще добавить , или, исключая , — прямые линии.

Отдельно надо рассмотреть случай, когда , и следовательно, при делении на теряется решение , где — произвольная постоянная. В этом случае и уравнение принимает вид — уравнение Клеро. Полагая , получим . Дифференцируя по , будем иметь: , или , откуда или , и, значит, , или .

В первом случае, исключая , получим

(23)

— однопараметрическое семейство интегральных прямых. Во втором случае решение определяется уравнениями

и . (24)

Нетрудно проверить, что интегральная кривая, определяемая уравнениями (24), является огибающей семейства интегральных прямых (23).

Действительно, огибающая некоторого семейства определяется уравнениями

и , (25)

которые для семейства имеют вид и лишь обозначением параметра отличаются от уравнений (24).

Как известно, уравнения (25) могут определять, кроме огибающей, геометрические места кратных точек, а иногда и другие кривые, однако если хотя бы одна из производных и отлична от нуля и обе ограничены в точках, удовлетворяющих уравнениям (25), то эти уравнения определяют только огибающую. В данном случае эти условия выполнены: . Следовательно, уравнения (25) определяют огибающую, которая может выродиться в точку, если семейство (23) является пучком прямых.

Пример 6. — уравнение Клеро.

Однопараметрическое семейство интегральных прямых имеет вид . Кроме того, интегрально кривой является огибающая этого семейства, определяемая уравнениями и . Исключая , получаем .

Пример 7. — уравнение Лагранжа.

,

. (26)

Дифференцируя, получаем

(27)

и после деления на приходим к уравнению . Интегрируя это линейное уравнение, получаем . Следовательно, интегральные кривые определяются уравнениями , .

При делении на , как мы уже рассматривали, теряются решения , где — корни уравнения . В данном случае теряется решение уравнения (27), которому, в силу уравнения (26), соответствует решение исходного уравнения .