2015-02-04
453
Задание 2. Вычислить производные функций.
1) 
2) 
3) 
4) 
- Интервалы монотонности, экстремум функции одной переменной. Выпуклость, вогнутость функции, точки перегиба.
При построении графика функции 
надо найти:
1) область определения
2) четность, нечетность
3) интервалы возрастания и убывания, экстремумы
4) интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба
5) асимптоты
Экстремумы функции находятся по следующей схеме:
1) Находим производную, приравниваем к нулю, решаем это уравнение. Корни уравнения называются критическими точками. Корни знаменателя производной тоже называются критическими точками.
2) Критические точки отмечаем на прямой и на каждом интервале ставим знак
производной
3) Если 
, на этом интервале функция возрастает, если 
, на этом интервале функция убывает.
4) Если при переходе через критическую точку 
производная меняет свой знак с «плюс» на «минус», то в точке - максимум. Если при переходе через критическую точку производная меняет свой знак с «минус» на «плюс», то в точке - минимум.
Пример. Найти экстремумы функции 
Отмечаем точки на оси и ставим знаки производной.
В точке 
- максимум, в точке 
- минимум. Подставляя и в функцию, найдем 
.
Пример. Построить график функции 
Найдем точки пересечения графика с осью 
.
Экстремумы найдены в предыдущем примере.
. 
Пример. Построить график функции 
Найдем экстремумы.
Отмечаем точки на прямой и на полученных интервалах ставим знаки производной.
Строим график функции.
- Неопределенный интеграл.
Функция 
называется первообразной функции 
, если 
. Например, для 
первообразной будет функция 
, так как 
. Для функции 
первообразной будет функция 
, так как 
. Заметим, что если первообразная функции , то 
, где С – любое число, тоже первообразная функции , так как 
.
Множество первообразных функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается 
.
Например, 
, так как 
Запишем таблицу неопределенных интегралов.
1) 
8) 
2) 
9) 
3) 
10) 
4) 
11) 
5) 
12) 
6) 
13) 
7) 
При нахождении неопределенного интеграла используют правила:
1. 
, то есть постоянный множитель выносится
за знак интеграла
2. 
, то есть интеграл от суммы равен
сумме интегралов.
Пример. 
По определению 
Например, 
Пример. 
Пример. 
Дифференциалом функции 
называется 
Например:
1) 
2) 
3) 
Пример. 
Пример. 
Пример. 
Пример. 
Выражение 
называется полным квадратом.
Пример. 
При нахождении интегралов иногда используют формулу 
Например:
Пример. 
