Концепции формирования и развития представлений о числе и счете

В отечественных и зарубежных психологических и педагогических теориях выделяются следующие концепции формирования и развития представлений о числе и счете:

· формирование понятия числа на основе симультанного (целостного, без сосчитывания) восприятия множества (А. Грубе, В. Лай, Д. Волковский, др.);

· формирование понятия числа на основе изучения арифметических действий (П. Гурьев, А. Дистервег, А. Гольденберг, К. Аржеников и др.);

· формирование понятия числа на основе совмещения идеи числа как образа и числа как результата счета (Ф. Блехер, К.Ф.Лебединцев и др.);

· формирование понятия числа на основе установления отношений между элементами двух множеств и счета (Г. Костюк, А. Леушина и др.);

· формирование понятия числа на основе синтеза умственных действий классификации и сериации (Ж. Пиаже, Д. Альтхауз, М. Фидлер, Д. Галабова, Р.Грин и др.);

· формирование понятия числа на основе измерения дискретных и непрерывных величин (П. Гальперин, В. Давыдов, Л. Георгиев);

· развитие у детей числовых представлений с позиций идей теории множеств.

Знание основополагающих идей, содержания и специфических особенностей данных концепций позволяет выявить особенности развития у дошкольников числовых представлений, деятельности счета.

Концепция формирования понятия числа на основе симультанного восприятия множества.

В основу данной концепции положена психологическая теория восприятия групп предметов. Сторонники данной теории утверждали, что ребенку свойственна способность охватывать множество как единое целое пространственно организованное целое, не сосчитывая его количество, то есть поддерживали идею числа как образа. Ребенок воспринимает множество и называет количество числом, не считая элементы – психологическое явление субитации чисел (узнавание числа без счета).

Впервые идея была раскрыта в трудах немецкого педагога Адольфа Грубе в 19 веке.

В основе заложен монографический метод изучения числа, целью которого было изучение каждого из чисел первого десятка в отдельности приемами созерцания и описания его состава, не прибегая к вычислениям.

А.Грубе был идеалистом и считал идею числа врожденной, число первичным по отношению к счету, математику доступной избранным. Роль педагога видел в создании условий для содействия развитию врожденного понятия числа. Считал, что числа от 1 до 100 доступны «непосредственному созерцанию», числа же от 1 до 1000 следует изучать, сравнивая их в кратном и разностном отношениях. Действия, по мнению А.Грубе, должны сами вытекать из знания наизусть состава числа. В качестве дидактического материала использовал пальцы, штрихи на доске, в тетради, палочки. Каждое число изучалось в следующей последовательности:

· Вносятся палочки (например, 4) и раскладывались по 1

· Из скольких палочек составили число 4?

· Отсчитайте по 1, чтобы получилось 4

· Во сколько раз 4 больше 1?

· Какую часть четырех составляет 1 палочка?

· Сколько раз 1 палочка заключается в четырех?

· Далее аналогично изучаемое число сравнивается и числом 2.

· Далее аналогично изучаемое число сравнивается и числом 3 (4).

· Отодвигается одна палочка: 4 – это 1 и 3

· Отодвигается еще одна палочка: 4 - это 2 и 2 и т.д.

Результаты сравнения записывались в таблицу и запоминались наизусть, чтобы в дальнейшем производить все арифметические действия без вычислений.

В дальнейшем разрабатывали данную концепцию В. Евтушевский, Д. Волковский, В. А. Лай.

В.Евтушевский. В 1872 году вышла его книга «Методика арифметики», где он, будучи материалистом, утверждал, что понятие числа может быть сформировано лишь на основе многократных наблюдений конкретных количеств, математика доступна всем. Изучение чисел должно быть от 1 до 20 подробным, а в пределах 100 должны изучаться только те числа, которые имеют много множителей (24, 32, 36, 40, 45, 48 и т.д.). Предлагал использовать в качестве наглядности кубики, запись на доске. Методика изучения числа и оформление записи в таблице использовались те же, что и у А.Грубе.

Немецкий психолог и дидакт Вильгельм А.Лай написал книгу «Руководство к первоначальному обучению арифметике, основанное на результатах дидактических опытов», в которой как идеалист по своим воззрениям, утверждал, что число – это изначально данная человеку способность упорядочивать количество в группе, воспринимать симультанно (целостно, без сосчитывания) группу. Считал, что возможно у ребенка сформировать отчетливый образ числа от 1 до 20. Разработал для этого специальный наглядный дидактический материал, который получил название «Квадратные числовые фигуры Лая» или «Числовые фигуры Лая», «Лаевские счеты». Он пришел к выводу, что число и форма его представления взаимосвязаны, могут быть выведены одно из другого. Наиболее удобной формой для изучения числа считал квадрат. Будучи приверженцем теорий Фридриха Фребеля, наделял квадрат особым смыслом, особыми возможностями. Изучение числа по Лаю шло в три этапа:

1. Работа над образом числа (анализ группы, описание е с закрытыми глазами, зарисовка, составление на счетах);

2. Изучение состава числа (закрывается на фигуре одна точка – дети видят остальные, закрываются остальные – дети видят одну точку, закрываются две точки – дети видят остальные и т.д.).Результаты описывались, объяснялись, оформлялись в таблице и запоминались.

3. После этого решались задачи, ответ на которые давался без вычислений, на основе знания состава числа.

Д.Л. Волковский перевел на русский язык книгу Лая и далее во всех своих педагогических изысканиях придерживался взглядов и методов В.Лая. В 1912 году разработал на этой основе книгу «Детский мир в числах», иллюстрированную числовыми фигурами В.А.Лая, карточками и чертежами, и рекомендовал ее для работы в начальной школе, приготовительных классах женских гимназий, домашнего обучения и работы в детских садах.

Так монографический метод попал в детский сад и до 50 годов 20 в. использовался абсолютно. Частично (приемы, упражнения, дидактические материалы) используется и по сегодняшний день. Однако, его использование служит не для обучения счету, а для показа состава числа, упражнения в счете, показа независимости числа от качественных и пространственных признаков предметов и др.

Н.Н.Лежава разработал содержание и приемы обучения детей счету на основе монографического метода (1953), рекомендовал обучать счету путем добавления к имеющемуся количеству по одному, схватыванию числа на глаз, составу числа.

Концепция формирования понятия числа на основе изучения арифметических действий.

Была впервые предложена в России в 1825 году учителем арифметики Петром Гурьевым, который предложил изучать числа при помощи вычислительного метода, т.е. метода изучения действий, вычисления. Этот метод предполагал научить детей не только вычислять, но и понимать смысл этих действий, понимать основу десятичной системы счисления. То есть в основу положена теория счета, который признается первичным по отношению к числу. Представители данной концепции утверждали, что врожденным является восприятие не одного числа, а последовательности чисел (натурального ряда), поэтому он с легкостью называет числа по порядку, а сосчитать, определить сколько затруднятся.

Однако, данный метод в России не был принят, так как считалось, что прогрессивные идеи могут прийти только с Запада. Что и произошло после того, как в Германии с аналогичными идеями выступил Адольф Дистервег, а в 1885 году была издана книга А.И.Гольденберга «Методика начальной арифметики», в которой предлагалось вести обучение математике на изучении не чисел, а счета и арифметических действий при решении примеров. Результат предлагалось записывать в таблицу и запоминать.

Далее этой концепции придерживались и ее разрабатывали известные русские методисты Ф.И.Егоров, С.И.Шохор-Троцкий. Они предлагали вводить решение простых арифметических задач.

К.П.Аржеников разработал последовательность изучения счета и чисел, подводящую к познанию десятичной системы счисления, в основу которой положено обучение по десятичным концентрам, в пределах которых изучаются не отдельные числа, а счет и действия:

1. изучение счета в пределах первого десятка;

2. круглые десятки;

3. первые два десятка;

4. первая сотня;

5. первая тысяча;

6. числа любой величины.

Концепция формирования понятия числа на основе совмещения идеи числа как образа и числа как результата счета.

В 20 – 50 годы 20 в. идеи концепции формирование понятия числа на основе симультанного восприятия множества и числа на основе счетной и вычислительной деятельности нашли отражение в трудах передовых ученых и практиков, в обосновании необходимости начинать обучение с восприятия множества предметов, переходя в дальнейшем к обучению счету, выделению отношений между смежными числами и т.д.

Фаня Наумовна Блехер. ( кн. «Математика в детском саду и нулевой группе» - (1934). Она считала, что, действуя с наглядным материалом, дети могут упражняться в составлении групп предметов, сравнивать, отсчитывать, составлять числа из меньших, находить цифры, показывающие то или иное количество и т.д. Разработанная ею методика опиралась на идеи монографического метода: числа изучались в последовательности «от числа к числу», состав числа изучался на основе рассмотрения и запоминания случаев состава, в обучении использовались числовые фигуры и т.д. Однако, она считала, что формировать количественные представления нужно не только на основе восприятия групп (до 4 лет), но и на основе счета (с 4-5 лет).

К аналогичным выводам пришел и К.Ф. Лебединцев («Развитие числовых представлений в раннем детстве» - Киев, 1923). Он считал, что первые представления о числах в пределах 5 возникают у детей на основе различения групп, восприятия множеств, а далее, когда дети общаются с большими количествами, основная роль в формировании понятия числа принадлежит счету, то есть имело место совмещение двух концепций.

Л.В. Глаголева (кн. «Преподавание арифметики лабораторным методом» - 1919; «Математика в нулевых группах» - 1930; «Сравнение величин предметов в нулевых группах» - 1930) также рекомендовала при обучении счету и развитии количественных представлений опираться на монографический и вычислительный методы, идти от числа к числу, использовать такие пособия, которые помогли бы более «ярко» воспринять число.

Н.А.Менчинская (кн. «Очерки психологии обучения арифметике» - М.,1947,1950; «Психология обучения арифметике» - М.,1955) определила соотношение восприятия множеств (групп предметов) и счета на различных этапах овладения числом. Она считала некорректным определение основы возникновения понятия числа выбором между восприятием множества или счетом, так как, по ее мнению, имеют место и одно, и другое явления.

Концепция формирования понятия числа на основе установления отношений между элементами двух множеств и счета (Г. Костюк, А. Леушина).

Концепция строится на идее числа как результата счета. «Целостное восприятие» множества заменялось «аналитическим» - наложением, приложением в процессе сравнения групп.

Г.С.Костюк изучил процесс становления у детей представлений о числе в результате осознания ими количественных отношений.

А.М.Леушина разработала содержание дочислового периода обучения детей 3-4 лет (сравнение множеств практическим путем) и периода развития у детей от 4 лет числовых представлений (счет, сравнение групп по числу, связи и отношения между числами, состав числа). В методике не совмещались взгляды на число как образ и число как результат счета. Представления о числе должны формироваться в процессе сосчитывания, отсчитывания количества, воспроизведения числа.

Концепция формирования понятия числа синтезом умственных действий классификации и сериации.