Лекция 12 вспомогательного рычага Жуковского

Тема: Рычаг Жуковского. Принцип возможных перемещений. Повернутый план скорости. Элементарная работа силы, действующей на звено механизма. Определение Рычага Жуковского. Определение приведенных и уравновешенных сил методом Жуковского.

Рассмотрим определение мощности отдельной силы. Для вычисления p_ίv_іcosα_і, необходимо спроектировать v_і на направление p_ί и найти произведение р_ίv_p_і =p_іv_іcosα_і (рис.12.1a); здесь v_ί- проекция скорости на направление соответствующей силы р_ί.

Произведение p_ίv_ίcosα_і можно представить еще и как момент силы относительно некоторой точки p_ν, если вектор скорости откладывать от этой точки повернутым на 90°. Плечом h_ί силы р_ί в этом случае будет проекция скорости на перпендикуляр к р_ί:

h_{ί =}v_ί cosα_і

Если для механизма построен план скоростей, повернутый на 90°, то, найдя скорости точек приложения внешних сил, можно к концам найденных векторов скоростей приложить действующие внешние силы. После этого, рассматривая повернутый план скоростей как жесткий рычаг, вращающийся вокруг полюса р_v, можно написать уравнение равновесия рычага в виде суммы моментов сил относительно полюса:

p₁h₁ + p₂h₂ + … + p_nh_n + p_yh_y = 0 (12.1)

Так как каждый из членов уравнения (12.1) может быть представлен в виде произведения p_ίv_ίcosα_і, то уравнение равновесия плана скоростей, рассматриваемого как жесткий рычаг, тождественно уравнению мощностей. Из уравнения (12.1) легко определяется уравновешивающая сила р_v, приложенная в заданной точке механизма.

Если к звеньям механизма приложены, кроме сил еще и моменты, то каждый из них можно рассматривать как пару сил, составляющая которой равна (рис. 12.1б):

(12.2)

где l_AB — расстояние в м между точками А и В приложения сил р, образующих пару с моментом М. Найденные силы прикладываются в соответствующих изображающих точках плана скоростей. При наличии моментов M_i можно обойтись и без замены их парой сил, для чегок плану скоростей прикладывают моменты, определяемые уравнением:

(12.3)

Момент имеет тот же знак, что и момент M_i, если АВ наплане механизма и на повернутом плане скоростей совпадают по направлению. Если направление противоположно АВ, то моменты и M_i имеют разные знаки. Таким образом, если к звеньям механизма приложены силы и моменты, то уравнение равновесия вспомогательного рычага можно написать в следующем виде:

Рисунок12.1. Вспомогательный рычаг Жуковского

p₁h₁ + p₂h₂ + … + p_nh_n + + … + + p_yh_y = 0 (12.4)

здесь - уравновешивающая сила и h_y - ее плечо относительно полюса р_v. Из уравнения (9.4) уравновешивающая сила:

(12.5)

При определении уравновешивающей силы можно поворачивать на 90° не план скоростей, а все внешние силы, приложенные к звеньям механизма, при переносе их на план скоростей. При этом все силы должны быть повернуты в одну и ту же сторону.

План скоростей с приложенными к нему внешними силами и моментами и рассматриваемый как жесткий рычаг, вращающийся вокруг полюса, получил название вспомогательного рычага Жуковского.

, (12.6)

В качестве примера применения вспомогательного рычага Жуковского при определении уравновешивающего момента М_у рассмотрим кривошипно-ползунный механизм, к поршню которого приложена сила Р_з — равнодействующая давления газов и силы инерции поршня, а к шатуну — сила инерции и момент сил инерции (рис. 12.2).

От произвольного полюса р_v откладываем в произвольном масштабе вектор скорости точки А,повернутый на 90°. Скорость точки В:

Проведя линии через а параллельно АВ и через полюс р_v перпендикулярно оси цилиндра, получаем в точке b их пересечения конец вектора . Конец вектора скорости точки S₂ находим делением аb на отрезки, пропорциональные AS₂ и S₂В. План скоростей рассматриваем как жесткий рычаг, вращающийся вокруг р_v. Далее переносим силы и на план скоростей, а также находим момент . Так как и АВ противоположны, то имеет знак, обратный по сравнению со знаком .В точке а плана скоростей прикладываем уравновешивающую силу р_у. Составляя сумму моментов сил относительно р_v,находим:

Отсюда:

;

знак минус перед дробью указывает на то, что момент силы противоположен по знаку сумме моментов всех остальных сил, приложенных к жесткому рычагу.

Уравновешивающий момент М_у,приложенный к кривошипу ОА, равен:

М_у = р_уl_OA.

Вспомогательный рычаг Жуковского может быть применен не только для определения уравновешивающей силы или момента, но также и в ряде других расчетов. Его можно, например, с успехом использовать для определения усилий, действующих вдоль стержней статически определимых ферм и появляющихся при наличии внешних сил, действующих на ферму.