Определение.
Числовой ряд называется знакочередующимся, если его члены поочередно меняют знак. Знакочередующийся ряд можно записать в виде
a 1 - a 2 + a 3 - a4 +...+ a n +...= , ( 19 )
где а n>0.
Для знакочередующихся рядов имеет место следующий очень простой достаточный признак сходимости.
ТЕОРЕМА 7. (Признак Лейбница)
Если для знакочередующегося ряда (19) все его члены удовлетворяют условиям:
а) a 1 > a 2 > a 3 > a4 >...> a n >... (т.е. члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине);
б) (т.е. общий член ряда стремится к нулю при n®¥), то такой ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена.
Пример 24. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Данный знакочередующийся ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница:
а) ; | б) . |
Заметим, что данный ряд отличается от гармонического только знаками четных членов.