double arrow

Знакочередующиеся ряды

Определение.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если его члены поочередно меняют знак. Знакочередующийся ряд можно записать в виде

a 1 - a 2 + a 3 - a4 +...+ a n +...= , ( 19 )

где а n>0.

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий очень простой достаточный признак сходимости.

ТЕОРЕМА 7. (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося ряда (19) все его члены удовлетворяют условиям:

а) a 1 > a 2 > a 3 > a4 >...> a n >... (т.е. члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине);

б) (т.е. общий член ряда стремится к нулю при n®¥), то такой ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена.

Пример 24. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Данный знакочередующийся ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница:

а) ; б) .

Заметим, что данный ряд отличается от гармонического только знаками четных членов.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: