Теорема 9

Изменяя порядок членов в условно сходящемся ряде, можно сделать его сумму равной любому наперед заданному числу и даже сделать ряд расходящимся.

К примеру, если в ряде провести перестановку членов, то ряд можно представить в виде

.

Итак, сумма рассматриваемого ряда уменьшилась вдвое. Это происходит потому, что при условной сходимости осуществляется взаимное погашение положительных и отрицательных членов и, следовательно, сумма ряда зависит от порядка расположения членов, а при абсолютной сходимости ряда этого не происходило.

При исследовании знакочередующихся рядов на сходимость можно рассуждать по следующей схеме: