Функциональный ряд и его область сходимости

Пусть u₁(x), u₂(x),..., u_n(x),... – последовательность функций, определенных на некотором множестве X.

Ряд вида

, (20 )

членами которого являются функции, называется функциональным.

Придавая в (20) x различные числовые значения из множества X, будем получать различные числовые ряды. В частности, при x=x₀ ÎX получим числовой ряд . Этот числовой ряд может быть сходящимся или расходящимся. Если он сходится, то x₀ называется точкой сходимости функционального ряда (20).

Множество всех точек сходимости функционального ряда называют его областью сходимости и обозначают ее через D. Очевидно, D Îx. В частных случаях, множество D может совпадать или не совпадать с множеством X, или же может быть и пустым множеством. В последнем случае функциональный ряд расходится в каждой точке множества X.

Вид области D для произвольного функционального ряда может быть различным: вся числовая ось, интервал, объединение интервалов и полуинтервалов и т.д. В простейших случаях, при исследовании функциональных рядов на сходимость, можно применить рассмотренные выше признаки сходимости числовых рядов, если под x понимать фиксированное число.

Определения:

Сумма первых n членов функционального ряда S_n(x)=u₁(x)+ u₂(x)+...+ u_n(x)

называется n-ой частичной суммой, а функция , определенная в области D,– суммой функционального ряда.

Функция R_n(x) = S(x)-S_n(x), определенная в области D, называется остатком ряда.

Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся на множестве D ÎX, если в каждой точке D сходится ряд .