2015-06-05
726
Производную по направлению дифференцируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:
Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке.
19) Градиенты функции двух переменных.
20) Двойной интеграл. Геометрический и физический смысл.
Двойным интегралом называют кратный интеграл с 
.
. Здесь 
— элемент площади в рассматриваемых координатах.
В прямоугольных координатах: 
, где 
— элемент площади в прямоугольных координатах.
Геометрический смысл двойного интеграла:
Пусть функция 
принимает в области 
только положительные значения. Тогда двойной интеграл 
численно равен объему 
вертикального цилиндрического тела, построенного на основании и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности 
21) Вычисление двойного интеграла по прямоугольной области.
Пусть область интегрирования R представляет собой прямоугольник 
. Тогда двойной интеграл в такой области выражается через повторный интеграл в следующем виде:
В данном случае область интегрирования R относится одновременно к типу I и II, так что у нас есть возможность выбирать, по какой переменной (x или y) начинать интегрировать функцию f (x,y). Обычно удобнее начинать с более простого интеграла.
В частном случае, когда подынтегральная функция f (x,y) "расщепляется" на произведение f (x) g (y), двойной интеграл равен произведению двух определенных интегралов:
Вычислить двойной интеграл 
в области 
.
Решение.
Как видно, подынтегральная функция f (x,y) представляет собой произведение f (x) g (y). Следовательно, интеграл равен
22) Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат (рисунок 1). 
Якобиан такого преобразования имеет вид
Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен
Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рисунок 2):
Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой
Будем называть полярным прямоугольником область интегрирования, показанную на рисунке 3 и удовлетворяющую условиям
В этом случае формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид
Будьте внимательны, чтобы не пропустить сомножитель (якобиан) r в правой части этой формулы!
| ||||||||||||
| Пример 1: | ||||||||||||
Вычислить двойной интеграл  , преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор  круга радиусом  . Решение. Область R в полярных координатах описывается множеством  (рисунок 4). Применяя формулу  получаем  |
