double arrow

Их конформные отображения


В теории и практике конформных отображений ставятся и решаются две задачи: прямая и обратная. Прямая задача заключается в нахождении образа данной линии или области при заданном отображении Обратная задача заключается в нахождении функции, осуществляющей отображение данной линии или области на другую линию или область.

Для решения данных задач необходимо знать некоторые свойства основных элементарных функций.

1. Линейная функция .

a, b , т.е. . Так как , то имеем, что . Следовательно, , .

1) – аналитическая функция, т.е. u и v – гармоническая пара, т.к. выполняются условия КРЭДа: , .

2) для всех z .

Из 1) и 2) следует, что отображение, реализуемое линейной функцией, конформно на всей плоскости Гаусса.

Пусть плоскости и и оси координат совпадают. Рассмотрим частные случаи.

1) Пусть (а = 1)

.

Преобразование сводится к сложению переменного вектора с данным вектором , т.е. параллельному переносу плоскости на вектор (рис. 22). Поворота при этом не происходит, так как Тогда

2)Пусть (b = 0); .

Угол поворота Коэффициент растяжения

Если а – действительное число, то поворота не происходит и вектор всякого комплексного числа растягивается в раз, например, окружность единичного радиуса на плоскости превращается в окружность радиуса на плоскости , и все точки окружности перемещаются в соответствующие точки по радиусу.

Если а – комплексное число, то происходит и растяжение, и поворот одновременно.

Вывод:отображение, осуществляемое линейной функцией, представляет собой композицию растяжения , поворота и параллельного переноса .

Замечание 1. Обратной к линейной функции будет функция .

Замечание 2.Отображение конформно во всей расширенной плоскости и имеет две неподвижные точки: ( ,

Пример 29. С помощью функции найти отображение окружности

на плоскость (Оuv).


Сейчас читают про: