Для того чтобы выяснить условия подобия процессов конвективного теплообмена приведем дифференциальные уравнения конвективного теплообмена к безразмерному виду.
В качестве примера рассмотрим стационарный конвективный теплообмен вязкой жидкости, движущейся с умеренной скоростью и имеющей неизменные физические характеристики (ρ = const, μ = const, λ = const). Внутренние источники теплоты в движущейся жидкости отсутствуют. Температура и скорость невозмущенного (набегающего) потока соответственно равны Т 0 и V 0. Поверхность теплообмена имеет постоянную равномерно распределенную температуру T c. Ее характерный линейный размер l 0.
Для рассматриваемой задачи дифференциальные уравнения конвективного теплообмена и уравнение теплоотдачи имеют вид
|
. (1.145)
Граничные условия задачи:
в области невозмущенного потока
. (1.146)
на поверхности теплообмена
. (1.147)
Для приведения уравнений к безразмерному виду используем метод масштабных преобразований. В качестве масштаба длин выберем характерный для исследуемого явления линейный размер l 0, скоростей – характерную скорость V 0, массовых сил, отнесенных к единице массы – ускорение силы тяжести, температуры – избыточную температуру невозмущенного (набегающего) потока Выразим величины, входящие в рассматриваемые уравнения, в принятых масштабах. Они примут безразмерный вид. Обозначим безразмерные величины теми же буквами, что и размерные, но с черточкой сверху. Тогда можем записать
|
|
(1.148)
Уравнения Навье-Стокса после подстановки в них полученных соотношений и элементарных преобразований принимают вид
(1.149)
Используя общепринятые обозначения для безразмерных комплексов, полученные безразмерные уравнения (1.149) можно записать в виде
(1.150)
где
– число Фруда (Froud number);
– число Эйлера (Euler number);
– число Рейнольдса (Reynolds number).
Заметим, что аналогичным образом можно привести к безразмерному виду и уравнения (1.70), (1.71). Так, если ось x считать совпадающей по направлению с , то для стационарных условий уравнение (1.67) можно записать следующим образом:
(1.151)
где
– число Грасгофа (Grashof number);
– безразмерное давление.
Уравнение теплоотдачи после подстановки в него размерных величин, выраженных через безразмерные и принятые масштабы, принимает вид
. (1.152)
Произведя перегруппировку членов уравнения (1.152), представляем его так
. (1.153)
Безразмерный комплекс, стоящий в левой части уравнения (1.153)
– число Нуссельта (Nusselt number).
Поэтому уравнение теплоотдачи окончательно в безразмерном виде можем записать следующим образом:
(1.154)
Аналогично к безразмерному виду приведем уравнение энергии, которое в результате примет вид
|
|
(1.155)
или
(1.156)
Безразмерный комплекс
– число Пекле (Peclet number).
Окончательно уравнение энергии в безразмерном виде для рассматриваемого случая имеет вид
(1.157)
Таким образом, система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена и теплоотдачи в безразмерном виде может быть представлена так
|
(1.159)
В векторном виде эта система уравнений запишется следующим образом:
(1.160)
Как и раньше черточка над величиной показывает, что она безразмерная, стрелка показывает, что она векторная.
Граничные условия задачи также должны быть приведены к безразмерному виду. В рассматриваемом случае в безразмерном виде граничные условия имеют следующий вид:
в области невозмущенного потока
(1.161)
на поверхности теплообмена
(1.162)
Анализ полученной системы дифференциальных уравнений конвективного теплообмена и теплоотдачи в безразмерном виде показывает, что явления или процессы конвективного теплообмена будут подобны, если они описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений, имеют подобные условия однозначности и численно одинаковые критерии подобия.
Fr = idem;
Re = idem;
Pe = idem.
К безразмерному виду могут быть приведены и уравнения, описывающие стационарное течение вязкой жидкости, находящейся под воздействием одновременно гравитационных и центростремительных массовых сил, в системе координат, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω.
Используем в качестве масштабных характерные величины системы: l 0 – линейный размер; V 0 – скорость; ω0 – угловую скорость.
Тогда
; (1.163)
, (1.164)
где - число Росби; - число Фруда; - число Грасгофа; - орт угловой скорости вращения; - орт ускорения силы тяжести; - центростремительное ускорение.
Для течения жидкости в трубах характерным линейным размером l 0 является диаметр трубы , характерной скоростью - средняя скорость течения жидкости в трубе , характерной угловой скоростью – угловая скорость вращения трубы .
Второй член в левой части уравнения (1.147) учитывает влияние кориолисова ускорения. Его величина по сравнению с инерционными членами оценивается по значению числа Росби.
Безразмерный комплекс Ro – число Росби (Rosby number):
(1.165)
По физическому смыслу число Росби*, являющееся числом подобия, можно определить как отношение конвективного ускорения к ускорению Кориолиса**, которое равно .
Влияние сил Кориолиса на вынужденное течение жидкости во вращающихся каналах будет существенным при его сравнительно малой интенсивности и значении числа Росби .
Член в правой части уравнения (1.163) характеризует вклад центростремительного ускорения.
При величине центростремительного ускорения, намного превышающей значение ускорения силы тяжести, уравнение (1.163) целесообразно записать в виде
(1.166)
где - «вращательное» число Грасгофа,
; (1.167)
- «вращательное» число Фруда,
. (1.168)
Из уравнений (1.163), (1.167) видно, что характер течения жидкости во вращающейся системе в общем случае определяется критериями Fr, Re, Gr, Ro или , Re, , Ro.