Критерии, определяющие числа подобия и уравнения подобия конвективного теплообмена

Для дальнейшего ограничимся случаем, когда и ось OZ направлена по вертикали вниз. При этом в системе (1.158) , а . Тогда полученная система безразмерных дифференциальных уравнений конвективного теплообмена (1.158) будет содержать независимые переменные , зависимые переменные , Eu, Nu и критерии подобия Re, Pe, Fr.

В соответствии с безразмерными уравнениями конвективного теплообмена (1.158) и теплоотдачи (1.159) для рассматриваемого случая можно уравнения подобия записать следующим образом:

(1.169)

; (1.170)

(1.171)

; (1.172)

; (1.173)

. (1.174)

Безразмерный комплекс

(1.175)

называют критерием Рейнольдса. Число Re характеризует соотношение сил инерции и вязкости в потоке или иначе отношение сил инерции к силам молекулярного трения, а поэтому является его важнейшей характеристикой.

Безразмерный комплекс

(1.176)

называют числом Фруда*. Число Fr является мерой отношения сил инерции и тяжести в однородном потоке и существенно лишь для случаев движения, в которых гравитационные эффекты играют заметную роль.

Для характеристики свободного движения однородной среды (жидкости или газа), обусловленного разностью температур в различных её точках, как было показано ранее, с достаточным приближением можно записать и использовать критерий Грасгофа (Grashof number)

, (1.177)

где - коэффициент объёмного расширения; - разность характерных значений температуры жидкости, в задачах, связанных с теплообменом жидкости и стенки.

Число Грасгофа характеризует отношение подъёмной силы, обусловленной различием плотности в потоке к силам молекулярного трения.

Безразмерный комплекс

(1.178)

как уже отмечалось выше, называют числом Эйлера*. Число Эйлера характеризует соотношение нормальных сил давления (величины такого же порядка, как и сила внутреннего трения) и силы инерции в потоке. В большинстве задач гидродинамики (внешнее обтекание тел, движение жидкости в трубах и др.) число Eu включает в себя обычно неизвестную величину р, а поэтому определяется уравнени­ем подобия как однозначная функция безразмерных независимых переменных и критериев. В этих случаях число Eu является опреде­ляемым числом подобия.

В практических расчетах искомой величиной обычно является не абсолютная величина давления, а перепад давлений в двух точ­ках системы. Поэтому число Эйлера представляют в виде

(1.179)

Часто вместо Eu употребляется другой комплекс, являющийся произведением чисел Eu на Re, которые называют числом Лагранжа* (Lagrange number):

. (1.181)

Для ряда задач такая форма представления безразмерной разно­сти давлений является удобной, т.к. число Лагранжа, полученное как произведение числа Re на число Eu, является мерой отношения двух сил одинакового порядка.

Число Нуссельта

(1.182)

по своему определению является безразмерным коэффициентом теплоотдачи и характеризует интенсивность конвективного теплообмена (или теплоотдачи) на границе стенка-жидкость.

Число Пекле

(1.183)

характеризует соотношение количеств теплоты, переносимых конвекцией и теплопроводностью в потоке – отношение конвективного теплообмена к молекулярному. Действительно, число Пекле можно представить следующим образом

(1.184)

откуда следует данное выше определение его физической сущности.

Разделив число Пекле на число Рейнольдса,

(1.185)

получим новое число – число Прандтля (Prandtl number)

(1.186)

Число Прандтля является безразмерной физической характеристикой, и как будет показано в дальнейшем характеризует подобие скоростных и температурных полей в потоке жидкости.

Разделив число Нуссельта на число Пекле,

(1.187)

получим новый безразмерный комплекс (число подобия) – число Стантона (Stanton number)

(1.188)

Если числитель и знаменатель формулы (1.188) умножить на то можно установить, что число Стантона представляет собой меру отношения двух удельных потоков теплоты, один из которых перпендикулярен поверхности теплообмена, а второй параллелен ей. Иначе можно определить число Стентона, как меру отношения интенсивности теплоотдачи к удельному теплосодержанию потока.

Умножив число Грасгофа на число Прандтля, получим еще один безразмерный комплекс – число Релея (Rayleigh number)

Ra = Gr Pr. (1.189)

Напомним два основных положения метода размерностей: каждая размерность представляет собой произведение основных величин, возведённых в некоторой степени. Иными словами, производные размерности представляют собой степенные комплексы, составленные из основных величин; всякое уравнение связывающее физические величины, может быть преобразовано в уравнение, связывающее безразмерные соотношения, составленные из исходных размерных величин.

Метод анализа размерностей предполагает сразу два допущения:

заранее известно, от каких величин зависит исследуемая физическая переменная;

между всеми существенными для рассматриваемого процесса величинами имеется степенная функциональная связь.

В качестве примера применения метода анализа размерностей рассмотрим задачу о теплоотдаче нагретой поверхности обтекаемой жидкостью.

. (1.190)

В соответствии со вторым допущением метода размерностей эту зависимость можно представить в виде степенного многочлена

, (1.191)

где l, r, m, k, n, p - показатели степени, выбор которых вначале ничем не ограничен; c – безразмерный множитель пропорциональности.

Если в исходное уравнение подставить размерность входящих в него величин

То получим

(1.192)

Размерности обеих частей последнего уравнения должны быть одинаковыми, поэтому относительно основных единиц измерения имеем следующие уравнения:

(1.193)

Решая систему (1.193) найдём

(1.194)

Подставляя значения l, r, k, p в исходное уравнение, получим

. (1.195)

Поэтому

(1.196)

Полученное выражение, используя приведённые ранее обозначения безразмерных комплексов, можно записать в виде

(1.197)

Таким образом, безразмерная величина коэффициента теплоотдачи – число Нуссельта, является функцией критериев Рейнольдса и Прандтля. Неизвестные c, m, n должны определяться опытным путём.

Результаты проведённого анализа можно проверить с помощью π-теоремы. Исходное уравнение содержит шесть размерных величин, из них четыре имеют основные размерности м, кг, с, К. Физическое уравнение в безразмерном виде должно содержать (6-4=2) две безразмерные величины – числа подобия. Такой результат и был получен выше.

Знание критериев, определяющих конвективный теплообмен, позволяет моделировать этот процесс.

Для выполнения полного подобия модели образцу необходимо выполнить следующие условия: процессы в модели и образце должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одними и теми же дифференциальными уравнениями; геометрически модель должна быть подобна образцу; безразмерные краевые условия (условия однозначности) в модели и образце должны быть одинаковыми; критерии подобия для модели и образца должны иметь одинаковую численную величину.

При исследовании конвективного теплообмена находят широкое применение методы приближенного моделирования, в частности метод, основанный на признаке автомодельности процесса относительно какого-либо критерия, и приближенный метод локального теплового моделирования.