Движения

Основные понятия турбулентного движения и некоторые его характеристики были рассмотрены в курсе гидромеханики.

Турбулентный поток представляется совокупностью вихрей или вихреподобных образований различного размера от больших, соизмеримых с характерными размерами системы, в которой происходит течение, до мелких, при которых преобладающим становится влияние сил вязкости.

Параметры турбулентного потока – скорость, давление, температура и т.д. – изменяются во времени. Поэтому турбулентные течения являются нестандартными или квазистационарными, если средние значения вышеназванных физических величин не изменяется во времени.

В качестве примера на рис. 1.14 показано изменение во времени температуры квазистационарного турбулентного потока в его произвольной точке.

(1.222)

Рис.1.14. Изменение температуры T жидкости во времени в фиксированной точке турбулентного потока

В общем случае для произвольной функции можно записать

. (1.223)

(1.224)

Принятый метод сравнения предполагает, что повторное осреднение осреднённой величины не приводит к её изменению, или

(1.225)

Средняя амплитуда пульсаций определяется следующими характеристиками:

; ; (1.226)

Важной характеристикой турбулентного потока является степень интенсивности турбулентности – отношения квадратного корня из средних квадратичных пульсаций скорости к местной или общей осреднённой скорости потока:

(1.227)

где - осреднённое значение местной или общей осреднённой скорости.

Отношение средней квадратичной пульсации составляющих вектора скорости в данной точке турбулентного потока к осреднённому значению скорости в той же точке называется степенью турбулентности (intensity of turbulence):

(1.228)

В теории турбулентности для описания статистических характеристик потока пользуются и другими величинами – определяемые как моменты.

Кинетическая энергия осреднённого потока в рассматриваемой точке

. (1.229)

Значение - сумма одноточечных моментов второго порядка. Значения - моменты второго порядка, характеризующие энергию пульсационного движения по координатным направлениям.

Энергия пульсационного движения в единице объёма или средняя плотность кинетической энергии пульсационного движения определяется формулой

. (1.230)

Полная энергия турбулентного потока равна сумме энергий осреднённого и пульсационного движения

. (1.231)

Уравнения для энергии пульсационного движения (в зарубежной литературе обозначенной k) и скорости диссипации этой энергии используются для выражения турбулентного переноса часто применяемой - модели турбулентности:

(1.232)

осреднённого турбулентного движения:

(1.239)

Иначе полученные уравнения можно представить следующим образом

(1.240)

Системы уравнений (1.239), (1.240) носят название дифференциальных уравнений осреднённого турбулентного движения (уравнений Рейнольдса).

Если уравнения Рейнольдса сравнить с уравнениями движения сплошной среды в напряжениях

(1.241)

то соответствующие компоненты напряжений системы (1.240) для среднего турбулентного движения можно представить в виде суммы вязких напряжений, определённых обобщённым законом Ньютона, и дополнительных турбулентных напряжений, возникших из-за пульсаций:

(1.242)

Новые слагаемые в уравнениях Рейнольдса

(1.243)

- дополнительные турбулентные напряжения.

Сопоставление уравнений Рейнольдса и уравнений Навье-Стокса показывает, что первые отличаются от вторых лишь членами, учитывающими дополнительные турбулентные напряжения.

Турбулентные напряжения, как и вязкие, составляют симметричный тензор – тензор турбулентных напряжений

(1.244)

Рассмотрим уравнение энергии. При умеренной скорости движения несжимаемого потока и отсутствии внутренних источников теплоты уравнение энергии может быть записано в виде

(1.245)

Так как для несжимаемого потока то

(1.246)

Поэтому исходное уравнение представим следующим образом:

(1.247)

После осреднения при ρ = const и c_p = const оно примет вид

(1.248)

Как и раньше, заменяем действительные величины u, υ, w, T суммой равных им значений средних и пульсационных величин. Затем, применяя правила осреднения, вычисляем

Подставляя найденные значения , в уравнение энергии, представляем его следующим образом:

(1.249)

После преобразований левой части уравнения (1.249) оно может быть записано в виде

(1.250)

В уравнении энергии для осредненного турбулентного движения (1.250) появились дополнительные члены, которые учитывают перенос теплоты в турбулентном потоке, обусловленный пульсационным движением:

(1.251)

Итак, для осреднённого турбулентного движения и энергии получена следующая система уравнений, определяющая все осреднённые параметры турбулентного потока

(1.252)

Система уравнений (1.252) является незамкнутой, т.к. число входящих в неё неизвестных превышает число уравнений. Поэтому решить эту систему без дополнительных условий или уравнений, связывающих осреднённые произведения пульсаций скорости и температуры невозможно.