Тепловой пограничный слой

1.7.1 Основные понятия и определения

Напомним некоторые положения теории пограничного слоя ранее рассмотренные в гидромеханике.

Динамический пограничный слой (velocity boundary layer) характеризуется большим градиентом продольной составляющей скорости, под действием которого осуществляется поперечный перенос количества движения.

Вне пограничного слоя скорость потока практически не изменяется (градиент скорости равен нулю). Это область внешнего потока (external flow), в которой влияние сил вязкости пренебрежительно мало и возмущение параметров течения (скорости и связанных с ней величин) обусловлено только деформацией линий тока вследствие вытеснения жидкости обтекаемым телом. Невозмущённый поток жидкости (main stream, buck of stream) – область потока жидкости, находящаяся на таком удалении от обтекаемого тела, что возмущения параметров потока, обусловленные присутствием тела, пренебрежительно малы по сравнению с величиной самих параметров.

Пограничный слой характеризуется толщиной пограничного слоя (thickness of boundary layer) - условной величиной, определяемой для динамического пограничного слоя как расстояние по нормали от стенки, на котором продольная составляющая скорости с заданной точностью достигает своего предельного значения во внешнем потоке. В приближённых методах теории пограничного слоя постулируется, что пограничный слой имеет конечную толщину , которая определяется из условий, что на его внешней границе скорость потока достигает предельного значения, а производная от этой переменной по нормали обращается в ноль.

Более точной характеристикой пограничного является толщина вытеснения (displacement thickness), которая в рамках теории пограничного слоя конечной толщины имеет вид

(1.253)

В рамках асимптотического пограничного слоя значение

. (1.254)

Ещё одной характеристикой пограничного слоя является толщина потери импульса (moment thickness), определяемая уравнениями

(1.255)

(1.256)

Г.Н. Кружилин по аналогии понятию гидродинамического пограничного слоя ввёл понятие теплового пограничного слоя. Использование теории теплового пограничного слоя позволяет существенно упростить математическую формулировку задачи и повысить возможность её решения.

Рассмотрим стационарное двухмерное движение несжимаемой жидкости (теплоносителя) с неизменными физическими характеристиками и умеренной скоростью вдоль поверхности тела, протяжённость которой велика, а кривизна мала по сравнению с толщиной образующегося пограничного слоя. Учитывая малую кривизну поверхности, будем считать, что ось декартовых координат совпадает с контуром поверхности. Поверхность имеет постоянную температуру T _с. Теплота трения пренебрежительно мала, внутренние источники теплоты отсутствуют ( = 0). Температура и скорость внешнего потока соответственно равны T₀ и U. На поверхности тела образуются гидродинамический и тепловой пограничные слои.

Характерной особенностью теплового пограничного слоя (thermal boundary layer) является большой поперечный градиент температуры, под действием которого происходит перенос теплоты. Рассмотренные в дальнейшем пограничные слои являются сдвиговыми, т.к. являются зоной интенсивного переноса количества движении, и несопряжёнными, т.е. допускающими раздельное рассмотрение динамической и тепловой задач.

Рис. 1.11 Схемы теплового пограничного слоя на поверхности обтекаемого тела при нагревании (а) и охлаждении (б) капельной жидкости

Рис. 1.12 Изменение безразмерных скорости (а), температуры (б) и толщин гидродинамического и теплового пограничных слоёв при нагревании и охлаждении капельной жидкости: 1 – нагревание, 2 – охлаждение, 3 – изотермическое течение

Распределения и получены при одинаковых значениях чисел Re и Pr внешнего потока.

, (1.257)

. (1.258)

(1.259)

Изменение вязкости жидкости в зависимости от температуры приводит к перестройке её скоростного поля, изменению толщины теплового пограничного слоя, градиента температуры у поверхности теплоотдачи (стенки) и в конечном счете величины коэффициента теплоотдачи.

Вывод уравнений пограничного слоя осуществляется на использовании общих уравнений движения и энергии сплошной среды и на оценке порядка малости их членов.

Применительно к двухмерному стационарному течению несжимаемой жидкости с физически характеристиками, зависящими от температуры , , , , система уравнений гидродинамического пограничного слоя для ламинарного и турбулентного пограничных слоёв примет вид

(1.260)

где для ламинарного течения

, (1.261)

для турбулентного течения

, (1.263)

.

1.7.2 Ламинарный тепловой пограничный слой

Рассмотрим стационарный конвективный теплообмен вязкого потока с неизменными физическими характеристиками и умеренной скоростью. Внутренние источники теплоты в движущейся среде отсутствуют. Температура и скорость среды постоянные и во внешнем потоке соответственно равны Т ₀ и U. Поверхность теплообмена (стенка) имеет постоянную и равномерно распределенную температуру Т _с. Характерный линейный размер поверхности l ₀.

При принятой постановке задачи можно пренебречь кинетической энергией потока по сравнению с его энтальпией. Используем для анализа дифференциальное уравнение энергии, записанное в безразмерном виде.

Дифференциальное уравнение энергии для рассматриваемого случая записываем в безразмерном виде следующим образом:

(1.265)

Для дальнейших преобразований из физических соображений примем, что порядок толщины теплового пограничного слоя примерно равен порядку толщины гидродинамического пограничного слоя δ, O (δ_T)≈ O (δ) (О – от латинского ordo – порядок). Причем в общем случае δ ≠ δ_T. Для безразмерных толщин и , где .

Оценим порядок членов исходного уравнения. В соответствии с ранее введенными понятиями (как и в уравнении движения в гидромеханике) считаем, что порядок продольной компоненты скорости в пограничном слое тот же, что и вне его, т.е. . Из тех же соображений для продольной и поперечной координат принимаем соответственно

Из уравнения сплошности

(1.266)

следует, что

Порядки избыточных температур на поверхности теплообмена и внешнего потока примерно равны , поэтому

Для наглядности порядки членов исходного уравнения энергии запишем под каждым из них:

. (1.267)

Полученное уравнение и является уравнением энергии для ламинарного пограничного слоя – уравнением ламинарного теплового пограничного слоя.

Порядок членов в его левой части равен единице, поэтому

(1.268)

Отсюда следует важное свойство ламинарного теплового пограничного слоя: толщина пограничного слоя есть величина порядка .

. (1.269)

Напомним, что ранее для гидродинамического ламинарного пограничного слоя было установлено, что (Re – число Рейнольдса). Поэтому

, (1.270)

или

, (1.271)

где Pr – число Прандтля.

На основании (1.271) можно утверждать, что соотношение между толщинами теплового и динамического ламинарных пограничных слоев определяется физическими свойствами среды, а критерий Прандтля является мерой этого соотношения. Таким образом, при Pr = 1 δ_T ≈ δ,при Pr > 1 δ_T < δ, при Pr < 1 δ_T > δ. Поскольку для капельных жидкостей обычно Pr ≥ 1, а для газов Pr ≈ 1, то в приближенных технических расчетах можно считать, что δ_T ≤ δ.

Итак, уравнение энергии ламинарного теплового пограничного слоя в безразмерном виде может быть записано следующим образом:

(1.272)

Граничные условия при этом имеют вид

(1.273)

В размерном виде уравнение (1.272) и граничные условия (1.273) могут быть представлены так

(1.274)

(1.275)

Следует заметить, что характерным свойством теплового пограничного слоя является неизменность вдоль течения температуры на его внешней границе, т.е. постоянство (). Напомним, что для гидродинамического пограничного слоя в общем случае скорость на его внешней границе зависит от продольной координаты, т.е. .

Сопоставляя уравнения теплового и гидродинамического ламинарных пограничных слоев, можно заметить, что они будут иметь аналогичный вид в случае безградиентного движения потока, т.е. при (обтекание плоской поверхности). Оба уравнения (для гидродинамического пограничного слоя записываем только основное уравнение) могут быть представлены следующим образом:

(1.276)

. (1.277)

Граничные условия:

(1.278)

Отсюда видно, что при безградиентном течении число Пекле выступает аналогом числа Рейнольдса.

При приближенных методах решения задач теплового пограничного слоя, как и гидродинамического, используются не уравнения пограничного слоя, а интегральные соотношения.

Левую часть уравнения (1.274) записываем в виде

(1.279)