Типовые задачи с решениями

Задача 1.1. Аффинное преобразование плоскости задано тремя парами соответственных точек и , и , и (рис. 24). Построить образ точки .

Решение. Пусть – образ точки , . Проводим прямую и строим точку так, чтобы (.

.

Проводим прямую и строим точку так, чтобы .

– образ точки в данном аффинном преобразовании.

Задача 1.2. Найти аналитическое выражение аффинного преобразования , переводящего репер в репер , если , , в системе координат , , . Определить род аффинного преобразования .

Решение. Аналитическое выражение аффинного преобразования имеет вид:

Тогда , следовательно, – аффинное преобразование первого рода.

Задача 1.3. Построить образ отрезка в родстве , заданном осью и парой соответственных точек .

Решение. Построим образы и концов отрезка .

а) С одной стороны, точка принадлежит прямой , проходящей через точку и параллельной (по свойству родства) (рис. 25).

С другой стороны, если , то точка принадлежит прямой (по свойству родства).

Следовательно, .

б) Аналогично строится образ точки . Опишите это построение самостоятельно (см. рис. 25).

Итак, .