Типовые задачи с решениями

Задача 1.1. Построить образ треугольника при гомотетии с центром и коэффициентом .

Решение. Для построения образа треугольника следует воспользоваться определением гомотетии. При гомотетии точка перейдет в такую точку , что

;

точка − в такую точку , что

;

а точка − в такую точку , что

.

Построим образ точки .

Так как , то точка лежит между точками и .

Так как

,

то отрезок составляет отрезка . Учитывая все эти выводы, строим точку (рис. 22).

Проводя аналогичные рассуждения для точек и , строим эти точки (рис. 22).

.

Задача 1.2. Найти координаты образа и прообраза точки в гомотетии с центром и коэффициентом .

Решение. Воспользуемся аналитическим выражением гомотетии:

Чтобы найти координаты и образа точки , надо положить . Тогда

.

Чтобы найти координаты прообраза точки (которая для является образом), можно записать формулы данной гомотетии в виде:

Полагая , находим и :

.

Ответ: .

Задача 1.3. Через точку внешнего касания двух окружностей и неравных радиусов проведены две прямые и , , . Доказать, что четырехугольник есть трапеция.

Решение. Чтобы доказать, что − трапеция, достаточно доказать, что и (так как если бы , то четырехугольник был бы параллелограммом) (рис. 23).

Так как , то удобно воспользоваться гомотетией. Рассмотрим гомотетию с центром в точке и коэффициентом .

Так как , то , а так как отношение радиусов окружностей и равно , то .

Так как , то и (по свойству гомотетии).

, . Тогда . Отсюда и из того, что , следует, что .

Аналогично доказывается, что (предлагаем читателю проделать это самостоятельно).

Таким образом, .

Так как , то (по свойству гомотетии).

Так как ,т.е. , то (данная гомотетия не является движением).

Следовательно, − трапеция.