Модуль числа. Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля

Любое действительное число можно изобразить точкой числовой прямой. Расстояние этой точки от начала отсчета на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом числовой прямой.

Расстояние точки, изображающей данное число на числовой прямой, от начала этой прямой называется модулем этого числа. Модуль числа а обозначается | |. Геометрический смысл модуля удобно использовать при решении некоторых уравнений.

Пример 1. Решите уравнение: | х – 6| = 9.

Решение:

Если число 6 изобразить тачкой А, то по определению модуля следует, что точка Х отстоит от точки А на расстоянии 9 единиц. Но на числовой прямой таких точек две. Одна имеет координату х = 6 + 9 = 15, другая х = 6 – 9 = -3. Следовательно, уравнение имеет два решения: х = 15 и х = -3.

Ответ: 15; -3.

Пример 2. Решите уравнение: | х –1 | + | х – 3| = 6.

Решение: Решить уравнение | х – 1| + | х – 3| = 6 – значит найти все такие точки на числовой оси О х, для каждой из которых сумма расстояний от неё до точек с координатами 1 и 3 равна 6.

Ни одна из точек отрезка не удовлетворяет этому условию, так как сумма указанных расстояний для любой из них равна 2 (т.е. не равна 6). Вне этого отрезка существует только две искомые точки: точка с координатами 5 и точка с -1.

Ответ: 5; -1.

При решении уравнений, содержащих несколько выражений со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля числа: модулем положительного числа и нуля является само число, модулем отрицательного числа называется противоположное ему положительное число.

а, если а

| а ‌‌‌| =

- а, если а < 0.

Пример 3. |2 х – 12| + |6 х + 48| = 160.

Решение:

а) Найдём корни (нули) каждого выражения, содержащего знак модуля:

2 х – 12 = 0, 6 х + 48 = 0,

х = 6, х = - 8.

б) Найденные значения х разбивают числовую прямую на три промежутка: х < -8, -8 > 6. Решение данного уравнения рассматривается в каждом промежутке отдельно.