Задачи для самостоятельного решения. Выполните деление с остатком

Выполните деление с остатком:

на х – 1.

на х ² - х + 1.

3. х ⁴ – 3 х ² + 1 на х – 2.

4. х ⁴ + х + 1 на х ³ + 1.

5. х ⁵ – 6 х ³ + 2 х ² – 4 на х² – х + 1.

6. х ⁴ + х ² + 1 на х + 5.

7. х ⁷ – 1 на х ³ + х + 1.

8. х ⁴ – 64 на х – 3.

9. а) Представьте выражение в виде где а, b и с – целые числа.

б) Представьте выражение в виде

а х + b + где а, b, с, d -целые числа.

10. При каких натуральных значениях n выражение является целым числом?

Ответ: 4.

11. При каких целых значения n выражение является натуральным числом?

Ответ: -9; -3; 5.

12. При каких целых значениях n дробь есть целое число?

Ответ: -6: -2; 0; 4.

13. Найти все целые а, при которых дробь принимала бы

целые значения.

Ответ: -1; 0; 2; 3.

Принцип Дирихле

Пример 1. Можно ли рассадить 5 кроликов в 4 клетки так, чтобы в каждой клетке было не более одного кролика?

Решение: Предположим, что нам это удалось. Тогда, если в каждой клетке не более одного кролика, то в 4 клетках не более четырёх кроликов, а у нас их 5. Значить, это сделать невозможно.

Более общий вывод из этой задачи можно сформулировать в следующем виде: