Задачи для самостоятельного решения. 1. Преобразуйте выражение в многочлен

1. Преобразуйте выражение в многочлен:

а) (а + b + с)²; г) (а – b – с)²;

б) (p + х + с + d)²; д) (2 а – х + 3 с)²;

в) (х + у – z)²; е) (m + 5 k – 2 b – 3 р)².

2. Упростите выражение:

а) (2 х + у – 3 z)² – (х -2 у + 2 z)²;

б) (m – 4 n + 5 z)² – (3 m – n -3 k)²;

в) (4 – 2 p + q ²)² – (3 p ² – 5 q +7)²;

г) (а + b + с)² + (а – b – с)² + (b – а – с)² + (с – а – b)².

3. Решите уравнение:

а) х² + у ² – 2 у + 1 = 0;

б) | х | + у² + z ² -2 у + 4 z + 5 = 0;

в) 4 х ²- 10 ху + 25 у ² = 10 ху - | у – 2|.

4.Докажите, что если а + b + с = 0 и а ² + b ² + с ² = 1, то

аb + bс + са = -

5. Докажите, что если а = b + 1, то (а + b) (а ² + b ²) (а ⁴ + b ⁴) (а ⁸+

+ b ⁸) ··· (а ⁶⁴+ b ⁶⁴) = а ¹²⁸ – b ¹²⁸.

6. Докажите, что если а ² + b ² + с ² = аb + bс + са, то а = b = с.

7. Докажите, что если а ³+ b ³ + с ³ = 3 аbс, если а + b + с = 0.

8. Докажите, что при любом натуральном значении n:

а) 7 ⁿ - 1 кратно 6;

б) 3^{3 n} – 1 кратно 13;

в) 5 ⁿ + 3 делится на 4;

г) 15 ⁿ + 6 делится на 7.

9. Сократите дробь:

10. Докажите, что из равенства (а – b)² + (b – c)² + (c – а) ² =

= (а + b – 2 с)² + (b + с – 2 а)² ++ (с + а – 2 b)² следует,

что а = b = с.