2015-06-28
801
Переход от канонических (параметрических) уравнений прямой к общим не вызывает затруднений. Действительно, если канонические уравнения прямой имеют вид
,
то ее параметрические уравнения:
, 
, 
а общие уравнения:
Переход от общих уравнений прямой к каноническим (параметрическим) требует несколько больших усилий.
Пусть прямая 
задана общими уравнениями:
(5)
Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор 
и координаты какой-нибудь точки 
на прямой. Координаты точки 
найти легко – это одно из решений системы уравнений (5). Выясним, как можно найти направляющий вектор .
Пусть 
и 
– плоскости, уравнения которых входят в общие уравнения прямой, 
и 
– нормальные векторы к плоскостям и соответственно.
Так как прямая лежит в плоскости , то векторы 
и перпендикулярны.
Так как прямая лежит в плоскости , то векторы 
и тоже перпендикулярны.
Следовательно, в качестве можем взять векторное произведение векторов и (см. определение векторного произведения в §9).
ПРИМЕР. Записать канонические уравнения прямой
(6)
1) Найдем одно из решений системы (6). Так как 
, то этот минор можно выбрать в качестве базисного минора матрицы системы (6). Следовательно, переменные 
и 
можем выбрать в качестве базисных, а переменную 
– свободной. Так как нам не нужно все множество решений системы (6), то придадим переменной конкретное значение. Например, полагаем 
. Тогда переменные и будут удовлетворять системе
Решаем эту систему по формулам Крамера и получаем:
, 
, 
;
, 
.
Таким образом, 
– одно из решений системы (6), и точка 
– точка на рассматриваемой прямой.
2) Найдем направляющий вектор прямой. Имеем:
, 
;
.
Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой можем взять вектор 
, и канонические уравнения рассматриваемой прямой будут иметь вид:
.
