Задачи, связанные с взаимным расположением прямых

Рассмотрим некоторые задачи аналитической геометрии, которые связаны с взаимным расположением прямых в пространстве.

ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещивающимися) прямыми в пространстве.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя скрещивающимися прямыми и называется угол между прямой и проекцией прямой на любую плоскость, проходящую через прямую .

Иначе говоря, угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным.

Пусть даны две пересекающиеся или скрещивающиеся прямые:

: и : .

Обозначим , – направляющие векторы первой и второй прямой соответственно.

Так как один из углов между прямыми равен углу между их направляющими векторами, а второй угол , то углы и могут быть найдены по формуле

,

или ,

где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла.

ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве.

Пусть дана прямая

:

и – точка, не принадлежащая этой прямой. Обозначим – направляющий вектор прямой , – точка на прямой , – расстояние от точки до .

Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах и . Тогда – высота этого параллелограмма, опущенная из вершины . Следовательно,

.

ПРИМЕР. Найти расстояние от точки до прямой : .

Из условия задачи имеем: , . Тогда

,

,

, ,

– искомое расстояние.

ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые

: и : ,

и – расстояние между и .

Построим плоскость , проходящую через прямую параллельно . Тогда – расстояние от прямой до плоскости . Найти это расстояние можно по формуле:

,

где – общее уравнение плоскости ,

– любая точка на прямой .

ПРИМЕР. Найти расстояние между двумя прямыми

: и : .

1) Прежде всего, установим взаимное расположение данных прямых. По условию задачи: и – направляющий вектор и фиксированная точка первой прямой, и – направляющий вектор и фиксированная точка второй прямой; . Имеем:

1) ∦ – прямые не параллельны;

2) вычислим :

.

Следовательно, данные прямые являются скрещивающимися.

2) Запишем уравнение плоскости , проходящей через прямую параллельно :

: .

Тогда – расстояние от точки до плоскости :

.

Замечание. Предложенный способ нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми – не единственный. Можно найти это расстояние, используя векторную алгебру.

Действительно, построим на векторах , и пирамиду.

Тогда – высота пирамиды, опущенная из точки и, следовательно,

ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых.

Пусть даны две пересекающиеся прямые

: и : ,

– точка пересечения прямых. Тогда – решение системы уравнений

или, переходя к параметрическим уравнениям прямой,

ПРИМЕР. Найти точку пересечения прямых

: и : .

1) Прямые и не являются параллельными (их направляющие векторы не коллинеарны) и для них выполняется условие (9):

.

Следовательно, прямые и – пересекаются.

2) Найдем точку пересечения прямых. Для этого перейдем к их параметрическим уравнениям:

: и :

и решим систему

, ;

, , .

Таким образом, точкой пересечения прямых является точка

5. Взаимное расположение прямой и плоскости
в пространстве

Пусть в пространстве заданы плоскость и прямая . Они могут быть 1) параллельны;

2) прямая может лежать в плоскости;

3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.

Выясним, как зная уравнения плоскости и прямой, определить их взаимное расположение.

Пусть : и : .

Тогда – нормальный вектор плоскости,

– направляющий вектор прямой.

Если плоскость и прямая параллельны или прямая целиком лежит в плоскости , то векторы и – перпендикулярны. Следовательно , (10)

или в координатной форме

. (11)

Если условие (10) (условие (11)) не выполняется, то геометрически это означает, что прямая и плоскость пересекаются в одной точке.

Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной точке является перпендикулярность прямой и плоскости. В этом случае и будут параллельны, что аналитически означает справедливость равенства

.

Теперь укажем условие, которое позволит различать случай параллельности прямой и плоскости и случай, когда прямая принадлежит плоскости. Пусть прямая лежит в плоскости . Тогда любая точка прямой лежит в плоскости и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. В частности,

,

где – некоторая фиксированная точка прямой . Если же прямая параллельна плоскости, то она не имеет общих точек с плоскостью и, следовательно, для такой прямой

.

Таким образом, если прямая лежит в плоскости, то должны выполняться два условия:

и ;

если же прямая параллельна плоскости, то

, но ,

где – некоторая фиксированная точка прямой .

В заключение этого пункта вернемся к случаю, когда прямая и плоскость пересекаются в одной точке, и получим формулу для нахождения угла между прямой и плоскостью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость .

Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью не превышает , т.е. угол острый.

Пусть – угол между прямой и плоскостью , – их точка пересечения.

Через перпендикулярно плоскости проведем прямую . Для вектор является направляющим и, следовательно, острый угол между прямыми и может быть найден по формуле

.

Но ,

– формула для определения угла между прямой и плоскостью .