III Параметрические уравнения прямой

Пусть прямая проходит через точку M ₀(x ₀; y ₀) и имеет направляющий вектор . Тогда для любой ее точки M (x; y) вектор коллинеарен вектору . Это означает, что существует число t такое, что . Записав это равенство в проекциях векторов, получим: x–x ₀ =tl, y–y₀=tm, или окончательно

(4)

Это и есть параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M ₀(x ₀; y ₀) в направлении вектора .

Замечание 2. Если на параметр t смотреть как на время, то уравнения (4) определяют прямолинейное и равномерное движение точки M (x; y) со скоростью в направлении вектора ; точка M ₀(x ₀; y ₀) – начальная (t= 0) точка движения.

Пример. Составить уравнения движения точки M ₀(1;1), движущейся прямолинейно и равномерно в направлении вектора со скоростью . Установить, в какой момент времени она пересечет прямую

x–y+ 9 = 0.

Решение. Сравнивая модуль вектора , равный , с заданной скоростью v= 15, мы видим, что в качестве вектора надо взять , т.е. . Тогда искомые уравнения имеют вид:

(5)

В любой момент времени t координаты движущейся точки вычисляются по формулам (5), в частности, и в момент пересечения с прямой x–y+ 9=0. Но в этот момент они должны удовлетворять и уравнению этой прямой, т.е. момент пересечения есть решение уравнения (1+9 t)–(1+12 t)+9=0 или – 3 t+ 9=0. Отсюда t= 3.

IV Полярное уравнение прямой

Если прямая проходит через полюс полярной системы координат и наклонена к полярной оси под углом φ ₀, то она определяется совокупностью уравнений

Рассмотрим теперь случай, когда прямая p не проходит через полюс. Пусть M ₀(ρ ₀; φ ₀) – основание перпендикуляра, опущенного из полюса на эту прямую. Возьмем текущую точку M (ρ; φ). В прямоугольном треугольнике

∆M ₀ MO угол