Геометрические задачи с использованием различных уравнений прямой

В различных геометрических задачах используются те или иные уравнения прямой в зависимости от условий. При этом важно помнить геометрический смысл различных коэффициентов в уравнении прямой. Наиболее часто используются следующие два факта: в общем уравнении прямой (8.1) коэффициенты при неизвестных образуют вектор = (А, В), ортогональный к этой прямой (вектор нормали); в уравнении

вектор = (l, m) параллелен этой прямой (направляющий вектор), а прямая проходит через точку (х₀, у₀).

Примеры.

а) Составим уравнение прямой, проходящей через точку (-2, -5), и параллельной прямой 3х + 5у + 2 = 0.

Из уравнения (8.8) имеем А(х+2)+В(у+5)=0. Из условия параллельности прямых заключаем, что ортогональные им вектора = (3, 5) и = (А, В) также параллельны. Следовательно, можно положить = = (3, 5) (длина вектора нормали не имеет значения). Итак, нужная нам прямая имеет уравнение:

3(х + 2) + 5(у + 5) = 0 или 3х + 5у + 31 = 0.

б) Даны вершины треугольника А(2, 2), В(-2, -8), С(-6, -2). Составим уравнение медиан треугольника.

Медиана проходит через вершину А и делит отрезок ВС пополам. Определим координаты середины отрезка ВС: х₀ = ((-2) + (-6))/2 = -4,

у₀ = ((-8) + (-2))/2 = -5. Пользуясь теперь уравнением прямой (8.10), проходящей через две точки, получаем уравнение медианы, проходящей через вершину А: (х + 4)/6 = (у + 5)/7 или 7х - 6у - 2 = 0.

Аналогично находим уравнения остальных медиан:

х₁ = 0, у₁ = -3, (х + 6)/6 = (у + 2)/(-1), х + 6у + 18 = 0,

х₂ = -2, у₂ = 0, (х + 2)/0 = (у + 8)/8, х + 2 = 0.

в) Даны вершины треугольника А(0, 1), В(12, -1), С(6, 5). Составим уравнение высоты треугольника, проведенной из вершины С.

Высота проходит через точку С, следовательно, ее уравнение можно записать в виде К(х - 6) + М(у - 5) = 0. Найдем координаты вектора нормали (К, М): так как наша прямая ортогональна стороне АВ треугольника АВС, то вектор, соединяющий точки А и В, является ортогональным прямой, его и можно взять в качестве вектора-нормали: (12 - 0, -1 - 1) = (12, -2). Итак, уравнение прямой имеет вид: 12(х - 6) - 2(у - 5) = 0 или 12х - 2у -62 = 0.