Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой

Если общее уравнение прямой (8.1) умножить на

где знак выбирается из условия mС<0, то получим уравнение

ах + bу - р = 0, (8.11)

где коэффициенты имеют следующий геометрический смысл: а = cos a,

b= sin a, a - угол между нормалью к прямой и осью Ох, р - расстояние от прямой до начала координат. Уравнение (8.11) называется нормальным уравнением прямой.

Пример. Найдем расстояние от начала координат до прямой

12х - 5у -65 = 0.

Приведем уравнение прямой к нормальному виду, домножив его на

m = где знак “плюс” выбран так, как С = -65. Тогда имеем (12/13)х - (5/13)у - 5 = 0, следовательно, нужное нам расстояние равно р = 5.

Расстояние от точки (х₀, у₀) до прямой (8.1) вычисляется по формуле:

d = (8.12)

Пример. Определим расстояние от точки (1, 2) до прямой

20х -21у -58 = 0.

Из формулы (8.12) получаем

d = .

Если прямые А₁х +В₁у + С₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂ = 0 пересекаются, то их точку пересечения можно найти, решая систему:

.

Пример. Покажем, что прямые 3х - 2у + 1= 0 и 2х + 5у -12 = 0 пересекаются, и найдем точку пересечения.

Составим систему и решим ее. Полученная точка и является точкой пересечения:

Итак, (1,2)- искомая точка пересечения прямых.