Пусть - комплексное банахово пространство, - линейный ограниченный оператор. Рассмотрим линейный ограниченный оператор , зависящий от параметра ,
, или
.
Определение 1. Значение называется регулярным значением оператора , если соответствующий этому значению оператор обратим, т. е. существует линейный ограниченный оператор .
Множество всех регулярных значений оператора называется резольвентным и обозначается . Это множество объединяет только те значения параметра , при которых оператор является (непрерывно) обратимым.
Определение 2. Спектром оператора называется множество всех тех , для которых оператор не имеет ограниченного обратного.
Таким образом, комплексная плоскость представляется в виде дизъюнктивного объединения резольвентного множества и спектра оператора , т.е.
.
Рассмотрим основные свойства спектра и резольвентного множества.
Теорема 1. Резольвентное множеств линейного ограниченного оператора является открытым неограниченным множеством.
|
|
Доказательство. Сначала докажем, что - неограниченное множество. Произвольно зафиксируем такое, что . Докажем, что соответствующий оператор = обратим. Это и будет означать, что значение ), а, следовательно, - неограниченное множество.
Полагая, что , имеем . Обратимость этого оператора следует из выполнения условия или (теорема 3 об обратимости).
Для доказательства открытости зафиксируем и покажем что вместе с некоторой своей окрестностью. Это и означает открытость множества .
Пусть и рассмотрим равенство
,
в котором первое слагаемое является обратимым оператором по предположению. Сумма операторов является обратимым оператором по теореме 4, если норма второго слагаемого удовлетворяет неравенству:
,
Так как , то при оператор обратим. Следовательно, резольвентное множество является открытым. Теорема доказана.
Теорема 2. Спектр любого ограниченного линейного оператора является: непустым, замкнутым и ограниченным множеством.
Доказательство. Доказательство того, что - непустое множество опустим. Напомним, что спектр является дополнением резольвенты до всей комплексной плоскости. Поэтому замкнутость следует из того, что - открытое множество. Следовательно, дополнение открытого множества является замкнутым.
Из доказательства теоремы 1 следует, что спектр (кругу радиуса равного ). Следовательно, спектр ограниченное множество. Теорема доказана.
В зависимости от причины необратимости оператора спектр подразделяется на три взаимно непересекающихся подмножества. Для нас интерес представляет подмножество , называемое точечным спектром оператора . Точечный спектр содержит только те значения , при которых ядро оператора нетривиально, т.е. . При этом уравнение имеет хотя бы одно ненулевое решение. Такое значение называется собственным, а соответствующие элементы собственными. Таким образом, точечный спектр объединяет все собственные значения данного оператора.
|
|
Для вполне непрерывных операторов спектр имеет достаточно простую структуру, аналогично структуре спектра матричного оператора. Напомним, что спектр матричного оператора в - мерном евклидовом пространстве содержит только собственных значений с учетом их кратности, то есть ).
Теорема 3. Спектр вполне непрерывного ограниченного оператора содержит не более чем счетное множество собственных значений с единственно возможной предельной точкой =0.
Утверждение теоремы 3 можно записать в виде .