Переход от общего уравнения прямой к каноническим уравнениям

Рассмотрим переход от общего уравнения прямой (10) к каноническим уравнениям (11).

Данный переход осуществляется по АЛГОРИТМУ 1

АЛГОРИТМ 1 Переход от общего уравнения прямой к каноническим уравнениям Дано:

Привести к каноническому виду общее уравнение прямой Решение Выполним схематичный чертеж общего уравнения прямой (рис. 18)

Рис.18 1 Найдем координаты направляющего вектора

. Так как прямая l лежит в плоскости α₁, то вектор

также лежит в плоскости α₁, тогда

– нормальный вектор плоскости α₁. Аналогично

Имеем

, тогда

2 Найдем точку М₀, через которою проходит прямая. За точку М₀ принимают точку пересечения прямой с одной из координатных плоскостей. Пусть М₀= l∩ХОУ, тогда

, подставим координаты точки

в уравнение (9), получим систему уравнений:

Решим полученную систему, найдем координаты точки

. 3 Составим уравнение прямой Подставим координаты точки

и вектора

в канонические уравнения прямой(10), получим

Говорят, чтобы найти точку, через которую проходит прямая нужно одну из переменных в общем уравнение прямой приравнять нулю и решить полученную систему уравнений.

Задача 16 Привести к каноническому виду общее уравнение прямой

Решение

Найдём направляющий вектор прямой. Так как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам и заданных плоскостей, то за можно принять векторное произведение векторов и :

Таким образом,

В качестве точки , через которую проходит прямая, можно взять точку пересечения её с любой из координатных плоскостей, например, с плоскостью XOY,так как при этом , то - и этой точки определяется из системы уравнений заданных плоскостей, если в них положить :