Проекция точки на прямую

АЛГОРИТМ 4 Проекция точки на прямую Дано: _______________________________________ Найти проекцию точки на прямую l Решение Замечание. Проекцией точки на прямую l является точка , полученная пересечением прямой l с плоскостьюα, проходящей через точку перпендикулярно прямой l (рис. 21) Рис.21 1 Составим уравнение плоскости α. 1.1 Точка . 1.2 Т.к. прямая , то за нормальный вектор плоскости α можно взять направляющий вектор прямой l: 1.3 Составим уравнение плоскости α, получим 2 Найдем точку пересечения прямой l с плоскостью α по алгоритму 2.

Задача 20 Найти проекцию точки на прямую

Решение

1 Составим уравнение плоскости α, проходящей через точку перпендикулярно прямой l (рис. 21)

1.1 Точка .

1.2 Т.к. прямая , то за нормальный вектор плоскости α можно взять направляющий вектор прямой l:

1.3 Составим уравнение плоскости α:

2 Найдем , как точку пересечения прямой l с плоскостью α по алгоритму 2.

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:

Подставим значения х, у,z в уравнение плоскости и найдем t.

2 Найдем координаты точки .

Подставим значение t в уравнения (*),получим:

Ответ:

Следствие 1 Расстояние от точки до прямой находится, как длина отрезка между точкой и её проекцией на прямую.

Задача 21 Найти расстояние от точки до прямой

Решение

1Найдем (см. задачу 8), .

2 Расстояние от точки до прямой l найдем, как длину отрезка между точкой и её проекцией на прямую: .

Ответ: