2015-06-28
343
Смешанным произведением трех векторов
называется число 
Смешанное произведение обладает следующими свойствами:
а) 
, если все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны);
б) 
г) объем параллелепипеда, построенного на векторах 
и 
, равен 
Примеры.
а) Найти смешанное произведение векторов 
=(5, 7, 2), 
= (1, -1, 1),
= (2, 2, 1).
Из определения имеем
= -5 + 14 + 4 + 4 - 10 - 7 = 0, т.е. вектора и компланарны.
Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
Найдем координаты векторов: 
Объем пирамиды 
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.
Sосн = 
(ед2)
Т.к. V = 
; 
(ед)
