Определение и свойства

Смешанным произведением трех векторов

называется число

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

а) , если все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны);

б)

г) объем параллелепипеда, построенного на векторах и , равен

Примеры.

а) Найти смешанное произведение векторов =(5, 7, 2), = (1, -1, 1),

= (2, 2, 1).

Из определения имеем

= -5 + 14 + 4 + 4 - 10 - 7 = 0, т.е. вектора и компланарны.

Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

Найдем координаты векторов:

Объем пирамиды

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.

S_осн = (ед²)

Т.к. V = ; (ед)