Доказательство. Необходимость. Пусть , тогда векторы и можно совместить, и потому, очевидно

Необходимость. Пусть , тогда векторы и можно совместить, и потому, очевидно, , где - любая ось.

Нетрудно показать справедливость утверждения и без совмещения векторов.

Достаточность. Пусть , где - любая ось. Докажем, что .

Предположим противное: . Убедимся в том, что при этом предположении найдется хотя бы одна такая ось, что проекции векторов и на эту ось не будут равны между собой.

Рассмотрим два возможных случая:

1). Векторы и коллинеарны.

Совместим начала этих векторов и проведем ось так, чтобы рассматриваемые векторы оказались расположенными на этой оси.

При этом:

а) Если векторы и одинаково направлены, то в силу того, что их длины различны (иначе оказалось бы, что ), концы векторов и не совпадут. Очевидно, что тогда составляющие векторов и по оси будут иметь различные длины и, следовательно, , что противоречит условию утверждения.

б). Если векторы и противоположно направлены, то, очевидно, и составляющие этих векторов по оси имеют противоположные направления. В этом случае проекции векторов и на ось являются числами разных знаков, и потому , что противоречит условию утверждения.

2). Векторы и неколлинеарны.

Совместим начала векторов и и проведем ось через общее начало и перпендикулярно биссектрисе угла .

Составляющие векторов и по оси будут иметь противоположные направления. В этом случае проекции векторов и на ось являются числами разных знаков, и потому , что противоречит условию утверждения.

Итак, предположение, что , противоречит условию утверждения, следовательно, .