Сложение векторов

Пусть даны свободные векторы и . Совместим начало второго вектора с концом первого вектора .

Определение. Суммой двух векторов и называется вектор, началом которого является начало первого из складываемых векторов , а концом - конец второго вектора , при этом разумеется, что начало второго из складываемых векторов совмещено с концом первого.

Сумма векторов и обозначается .

Из определения следует, что

1) сумма двух противоположных векторов есть нуль-вектор,

2) сумма вектора и нуль-вектора равна вектору .

Теорема (о проекции суммы двух векторов на ось). Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций складываемых векторов на ту же ось, т.е.

где - любая ось.

Доказательство. Наряду с осью рассмотрим числовую ось , совмещенную с осью и одинаково с ней направленную. Тогда, очевидно,

, ,

Согласно чертежу, , , ;

, ,

По теореме о проекции вектора на числовую ось

и

где - соответственно координаты точек на числовой оси . Складывая почленно эти равенства, получим

С другой стороны, на основании теоремы о проекции вектора на числовую ось

Из двух последних равенств вытекает или, что, согласно чертежу, то же самое, , что и требовалось доказать.