Умножение вектора на скаляр

Определение. Произведением вектора на скаляр называется вектор, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а направление совпадает с направлением вектора , если число положительно, и противоположно направлению вектора , если число отрицательно.

Произведение вектора на скаляр обозначается или . По определению:

1. ;

2. , если , , если ;

3. если , то ;

4. если , то .

Согласно определению, произведение вектора на скаляр есть вектор, коллинеарный вектору .

Теорема ( о проекции на ось произведения вектора на скаляр). Проекция на ось произведения вектора на скаляр равна произведению этого скаляра на проекцию рассматриваемого вектора на ту же ось, т.е.

,

где - любая ось.

Доказательство. По теореме о проекции вектора на ось

,

где - орт оси . Если в правой части этого равенства воспользоваться определением понятия модуля произведения вектора на скаляр, то получим

(*)

При этом возможны следующие случаи:

1. .

В этом случае по определению модуля числа . Кроме того, при , и поэтому . Следовательно, в силу равенства (*) имеем

.

Если теперь в правой части последнего равенства воспользоваться свойством сочетательности умножения чисел и применить теорему о проекции вектора на ось, то получим

.

2.

В этом случае по определению модуля числа . Кроме того, при , т.е. и потому .

Исходя из равенства (*), приходим к выводу, что в рассматриваемом случае

,

и потому, как и при , имеем

.

В справедливости утверждения при предлагаем убедиться самостоятельно.