Основные свойства операции умножения вектора на скаляр

1. Умножение вектора на скаляр обладает свойством сочетательности, т.е.

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы и равны, достаточно доказать, что равны их проекции на любую ось. Пусть - произвольная ось. Найдем проекции векторов и на ось . Применяя теорему о проекции на ось произведения вектора на скаляр, имеем соответственно

В силу свойства сочетательности умножения чисел правые части двух последних равенств совпадают, и потому

где - любая ось. Следовательно, по критерию равенства векторов,

2. Умножение вектора на скаляр обладает свойством распределительности по отношению к сумме скаляров, т.е.

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы и равны, достаточно доказать, что равны их проекции на любую ось. Пусть -произвольная ось. Согласно теореме о проекции на ось произведения вектора на скаляр, имеем

или, учитывая свойство распределительности действий над числами,

Если же теперь в каждом слагаемом в правой части применить теорему о проекции на ось произведения вектора на скаляр, а затем воспользоваться теоремой о проекции суммы двух векторов на ось, то придем к выводу, что

где - любая ось. Следовательно, на основании критерия равенства векторов,

3. Умножение вектора на скаляр обладает свойством распределительности по отношению к сумме векторов, т.е.

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы и равны, достаточно доказать, что равны их проекции на любую ось. Пусть - произвольная ось. По теореме о проекции на ось произведения вектора на скаляр

Если в правой части применить теорему о проекции суммы векторов на ось, то получим

или, в силу свойства распределительности действий над числами,

Если же в каждом слагаемом правой части ещё раз воспользоваться теоремой о проекции на ось произведения вектора на скаляр, а затем теоремой о проекции суммы векторов на ось, то придем к выводу, что