Основные свойства операции сложения векторов

1. Сложение векторов обладает свойством переместительности:

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы и равны, достаточно доказать, что равны проекции этих векторов на любую ось. Пусть - произвольная ось. По теореме о проекции суммы двух векторов на ось

и

Учитывая свойство переместительности сложения чисел, имеем

где - любая ось и потому, на основании критерия равенства двух векторов, .

2. Сложение векторов обладает свойством сочетательности, т.е.

.

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы и равны, достаточно доказать, что равны проекции этих векторов на любую ось. Пусть - произвольная ось. Применим теорему о проекции суммы двух векторов на ось:

Учитывая свойство сочетательности сложения чисел, имеем

где - любая ось. Следовательно, по критерию равенства векторов,

.

Определение. Суммой конечного числа векторов называется вектор, началом которого является начало первого из складываемых векторов, а концом - конец последнего, при этом разумеется, что начало каждого из складываемых векторов, начиная со второго, совмещено с концом предыдущего.

Теорема (о проекции суммы векторов на ось). Проекция суммы векторов на любую ось равна сумме проекций складываемых векторов на ту же ось, т.е.

где - произвольная ось.

Теорема легко может быть доказана методом математической индукции с учетом ранее доказанной теоремы о проекции суммы двух векторов на любую ось.