Свойства линейно зависимых векторов

1. Критерий линейной зависимости векторов. Для того, чтобы векторы были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов был представим в виде линейной комбинации всех остальных:

Мы выделили вектор , но это не налагает никаких ограничений, так как всегда можно произвести перенумерацию векторов.

Доказательство

Необходимость. По условию линейно зависимые векторы, и потому, по определению, существует такая совокупность чисел из которых хотя бы одно отлично от нуля, что справедливо равенство

Пусть . Тогда, полагая ; ; …; ,

получим , то есть .

Достаточность. Пусть .

Тогда .

Очевидно, что по меньшей мере одно из чисел в линейной комбинации в левой части этого равенства отлично от нуля и потому, на основании определения, векторы линейно зависимы.

2. Если среди векторов имеется нуль-вектор, то рассматриваемые векторы линейно зависимы.

Доказательство. Пусть , тогда можно положить , где .

Следовательно, векторы , согласно критерию, линейно зависимы.

3. Если в совокупности векторов векторы являются линейно зависимыми, то и векторы линейно зависимы.

Доказательство. Действительно, если , то

и потому, согласно критерию, векторы линейно зависимы.

Теорема (об одинаково направленных векторах). Если векторы и одинаково направлены, то .

При этом разумеется, что .

Доказательство. Надо показать, что если и , то векторы и равны. Действительно, , т.е. модули векторов и равны. Далее, .

Следовательно, направления векторов и совпадают. Теорема доказана.

Теорема (о противоположно направленных векторах). Если векторы и противоположно направлены, то

При этом разумеется, что .

Доказательство. Надо показать, что если и , то векторы и равны. Действительно, , т.е. модули векторов и равны. Далее, . Следовательно, направления векторов и совпадают. Утверждение доказано.

Теорема (о связи между вектором и его ортом). Всякий ненулевой вектор может быть представлен в виде произведения модуля этого вектора на его орт:

Доказательство. Воспользуемся теоремой об одинаково направленных векторах. По определению и потому .

Так как , то для любого ненулевого вектора справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Следствие. Для орта ненулевого вектора справедливо равенство

Теорема (о связи между составляющей вектора по оси и ортом этой оси). Составляющая вектора по оси равна произведению проекции рассматриваемого вектора на ось и орта той же оси, т.е.