Ковариация и коэффициент корреляции

Определение. Начальным моментом порядка системы двух случайных величин называется действительное число , определяемое по формуле:

если – система двух дискретных случайных величин;

если – система двух непрерывных случайных величин.

Определение. Центральным моментом порядка системы двух случайных величин называется действительное число , определяемое по формуле:

если – система двух дискретных случайных величин;

если – система двух непрерывных случайных величин.

На практике чаще всего встречаются моменты первого и второго порядков. Очевидно, что начальные моменты первого порядка есть не что иное, как математические ожидания компонент X и Y:

, .

Точка с координатами на плоскости xOy представляет собой характеристику положения случайной точки , а ее рассеивание (разброс) происходит вокруг .

Центральные моменты первого порядка, очевидно, равны нулю, т.е.

Имеются три начальных момента второго порядка – , и . Причем первые два из них есть не что иное, как начальные моменты второго порядка компонент X и Y:

, .

Имеются три центральных момента второго порядка , и . Первые два из них представляют собой дисперсии компонент X и Y соответственно:

, .

Рассмотрим отдельно.

Определение. Центральный момент второго порядка называется ковариацией случайной величины .

Для момента используется обозначение .

Замечание. По определению ковариации: .

В механической интерпретации, когда распределение вероятностей на плоскости xOy трактуется как распределение единичной массы на этой плоскости, точка есть не что иное, как центр масс распределения; дисперсии и – моменты инерции распределения относительно точки в направлении осей Ox и Oy соответственно, а ковариация – это центробежный момент инерции распределения масс.

Теорема. Если случайные величины X и Y независимы, то .

Замечание. Как правило, удобнее вычислять по формуле

Ковариация характеризует не только степень зависимости двух случайных величин , но также их рассеивание вокруг точки . Однако размерность ковариации равна произведению размерностей случайных величин X и Y. Чтобы получить безразмерную величину, характеризующую только зависимость, а не разброс, ковариацию делят на произведение :

Определение. Величина называется коэффициентом корреляции случайных величин X и Y.

Коэффициент корреляции характеризует степень зависимости случайных величин X и Y, причем не любой зависимости, а только линейной, проявляющейся в том, что при возрастании одной случайной величины другая проявляет тенденцию также возрастать (или убывать). В первом случае и говорят, что случайные величины X и Y связаны положительной корреляцией, во втором случае и говорят, что случайные величины X и Y связаны отрицательной корреляцией. Модуль коэффициента корреляции случайных величин X и Y характеризует степень тесноты линейной зависимости между ними. Если линейной зависимости нет, то .

Теорема. Если случайные величины X и Y связывает линейная зависимость , то при , при .

Пример 2.2.14. Найти коэффициент корреляции между случайными величинами: 1) X и ; 2) X и .

Решение. Согласно теореме 3.5.2: 1) , т.к. , ; 2) , т.к. , .

Ответ: 1) ; 2) .

Пример 2.2.15. Игральная кость размечена таким образом, что сумма очков на противоположных гранях равна 7 (т.е. 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4). Пусть X – число очков на верхней грани, Y – число очков на нижней грани. Построить совместный закон распределения случайных величин X и Y, найти коэффициент корреляции между ними.

Решение. По условию задачи . Поэтому . Следовательно, для построения таблицы распределения случайного вектора остается вычислить вероятности:

Аналогично можно показать, что

, .

Тогда закон распределения случайного вектора задается следующей таблицей:

Y X

Поскольку между случайными величинами X и Y имеется линейная связь , то .

Ответ: .

Теорема. Для любых случайных величин X и Y:

Определение. Случайные величины X и Y называются некоррелированными, если (или ), иначе X и Y называются коррелированными.

Замечание. Из независимости случайных величин следует их некоррелированность. Но из некоррелированности () не вытекает их независимость. Действительно, если , то это означает только отсутствие линейной связи между случайными величинами, однако любой другой вид связи может при этом присутствовать.

Пример 2.2.16. Закон распределения случайного вектора задан таблицей:

Y X
	0,1		0,2
		0,3
	0,1	0,3

Выяснить, зависимы или нет случайные величины X и Y. Найти: .

Решение. Найдем законы распределения компонент X и Y:

Y X
	0,1		0,2	0,3
		0,3		0,3
	0,1	0,3		0,4
	0,2	0,6	0,2

Очевидно, что компоненты X и Y являются зависимыми, т.к.

; ;

, ;

;

Так как , то это показывает, что между случайными величинами X и Y существует отрицательная линейная зависимость, т.е. при увеличении одной из них другая имеет тенденцию уменьшаться.

Пример 2.2.17. Закон распределения случайного вектора задан таблицей:

Y X
–1	0,15	0,05
	0,3	0,05
	0,35	0,1

Выяснить, являются ли случайные величины X и Y: 1) зависимыми; 2) коррелированными.

Решение. Найдем законы распределения компонент X и Y:

Y X
–1	0,15	0,05	0,2
	0,3	0,05	0,35
	0,35	0,1	0,45
	0,8	0,2

Очевидно, что компоненты X и Y являются зависимыми, т.к.

; ;

, ;

; .

Этот пример показывает, что случайные величины X и Y могут быть некоррелированными, но при этом являться зависимыми.

Пример 2.2.18. Двумерный случайный вектор подчинен закону распределения с плотностью

Область D – треугольник, ограниченный прямыми , , .

Найти: коэффициент а, . Выяснить, зависимы или нет случайные величины X и Y.

Решение. Коэффициент a находится из уравнения

Опуская промежуточные выкладки (в этом примере будем делать так и в дальнейшем), получаем . Далее:

Заметим, что в силу симметрии по переменным x и y, можно не вычислять математическое ожидание и дисперсию компоненты Y, т.е. , . Тогда .

Вычислим ковариацию и коэффициент корреляции:

; .

Поскольку компоненты X и Y коррелированны, следовательно, они зависимы.

Ответ: , , , , , . Компоненты X и Y зависимы.

Пример 2.2.19. Двумерный случайный вектор равномерно распределен на множестве случайных точек Q, задаваемых неравенством . Выяснить, являются ли случайные величины X и Y: 1) зависимыми; 2) коррелированными.

Решение. Множество точек Q, задаваемых неравенством , является квадратом (рис. 2.2.6). Поскольку двумерный случайный вектор равномерно распределен на множестве Q, его плотность имеет вид

Из условия нормировки найдем константу C:

где – площадь квадрата Q, равная 2. Отсюда , а значит,

1) Найдем вначале плотность распределения компоненты X.

Если , то, очевидно, для всех .

Если , то

, т.е.

Аналогично находится плотность распределения компоненты Y:

Равенство не выполняется для точек координатной плоскости, принадлежащих заштрихованным областям (рис. 2.2.7), поскольку в этих точках , а и . Суммарная площадь заштрихованных областей равна 2, значит, компоненты X и Y зависимы.