2015-06-28
8552
На практике часто встречаются двумерные случайные величины, распределение которых нормально.
Определение. Нормальным законом распределения на плоскости называется распределение вероятностей двумерной случайной величины 
, функция плотности которой имеет вид
.
Итак, нормальный закон на плоскости определяется пятью параметрами: 
. Смысл этих параметров: математические ожидания и средние квадратические отклонения компонент, а также коэффициент корреляции.
Пример 2.2.26. Доказать, что для нормально распределенных компонент двумерной случайной величины понятия независимости и некоррелированности равносильны.
Решение. Действительно, пусть компоненты X и Y некоррелированны (
), тогда плотность 
принимает вид:
.
Отсюда очевидно, что
.
Значит, компоненты X и Y независимы.
Обратное утверждение также выполняется (из независимости компонент X и Y всегда следует их некоррелированность).
Условные законы распределения случайных величин X и Y:
,
.
Нетрудно видеть, что каждый из условных законов распределения также является нормальным с условным математическим ожиданием и условной дисперсией, вычисляемыми по формулам:
, 
;
, 
.
Замечание. Из формул для условных математических ожиданий видно, что для системы нормально распределенных случайных величин X и Y линии регрессии Y на x и X на y представляют собой прямые линии, т.е. в данном случае регрессия всегда линейна.
В геометрической интерпретации график двумерного нормального распределения представляет собой холмообразную поверхность, вершина которой находится в точке 
. Аппликата этой вершины равна 
(рис. 2.2.11). Сечения поверхности плоскостями, параллельными плоскости xOy, представляют собой эллипсы.
Определение. Нормальное распределение называется круговым с центром в точке , если случайные величины X и Y некоррелированны () и 
.
Пример 2.2.27. Случайная точка на плоскости xOy распределена по двумерному нормальному закону с центром рассеивания 
, средними квадратическими отклонениями 
, 
и коэффициентом корреляции . Вычислить вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами 
, 
, 
, 
.
Решение. Поскольку коэффициент корреляции , то плотность 
представляется в виде
.
С учетом того, что 
, 
, , , получим:
.
Поэтому 
, или
.
Ответ: 
.
Пример 2.2.28. Случайные величины X и Y независимы и распределены по нормальному закону. Известно, что 
, 
, . Найти радиус R круга с центром в точке 
, вероятность попадания в который случайной точки 
равна 0,997.
Решение. Поскольку случайные величины X и Y независимы, то
.
Вероятность 
попадания случайной точки в круг D с центром в точке и радиусом R вычисляется следующим образом:
.
Теперь, решая уравнение 
, получим 
. Отсюда 
.
Ответ: .
Пример 2.2.29. Заданы следующие характеристики двумерного нормального вектора : 
, 
, 
, 
, 
. 1) Записать выражения для плотности распределения вероятностей и условных плотностей компонент 
, 
. 2) Составить уравнения регрессий Y на x и X на y. 3) Найти условные дисперсии компонент X и Y.
Решение. 1) По определению двумерного нормального вектора:
.
С учетом того, что , , , , , выражение для примет вид:
.
Условные законы распределения случайных величин X и Y:
,
.
2) Условные математические ожидания равны:
,
.
Таким образом, уравнение регрессии X на y имеет вид 
, а уравнение регрессии Y на x имеет вид 
.
3) Условные дисперсии равны:
,
.
Ответ: 1) ,
, 
.
2) Уравнение регрессии X на y: , уравнение регрессии Y на x: . 3) 
, 
.
