На практике часто встречаются двумерные случайные величины, распределение которых нормально.
Определение. Нормальным законом распределения на плоскости называется распределение вероятностей двумерной случайной величины , функция плотности которой имеет вид
.
Итак, нормальный закон на плоскости определяется пятью параметрами: . Смысл этих параметров: математические ожидания и средние квадратические отклонения компонент, а также коэффициент корреляции.
Пример 2.2.26. Доказать, что для нормально распределенных компонент двумерной случайной величины понятия независимости и некоррелированности равносильны.
Решение. Действительно, пусть компоненты X и Y некоррелированны (), тогда плотность принимает вид:
.
Отсюда очевидно, что
.
Значит, компоненты X и Y независимы.
Обратное утверждение также выполняется (из независимости компонент X и Y всегда следует их некоррелированность).
Условные законы распределения случайных величин X и Y:
,
.
Нетрудно видеть, что каждый из условных законов распределения также является нормальным с условным математическим ожиданием и условной дисперсией, вычисляемыми по формулам:
|
|
, ;
, .
Замечание. Из формул для условных математических ожиданий видно, что для системы нормально распределенных случайных величин X и Y линии регрессии Y на x и X на y представляют собой прямые линии, т.е. в данном случае регрессия всегда линейна.
В геометрической интерпретации график двумерного нормального распределения представляет собой холмообразную поверхность, вершина которой находится в точке . Аппликата этой вершины равна (рис. 2.2.11). Сечения поверхности плоскостями, параллельными плоскости xOy, представляют собой эллипсы.
Определение. Нормальное распределение называется круговым с центром в точке , если случайные величины X и Y некоррелированны () и .
Пример 2.2.27. Случайная точка на плоскости xOy распределена по двумерному нормальному закону с центром рассеивания , средними квадратическими отклонениями , и коэффициентом корреляции . Вычислить вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами , , , .
Решение. Поскольку коэффициент корреляции , то плотность представляется в виде
.
С учетом того, что , , , , получим:
.
Поэтому , или
.
Ответ: .
Пример 2.2.28. Случайные величины X и Y независимы и распределены по нормальному закону. Известно, что , , . Найти радиус R круга с центром в точке , вероятность попадания в который случайной точки равна 0,997.
Решение. Поскольку случайные величины X и Y независимы, то
.
Вероятность попадания случайной точки в круг D с центром в точке и радиусом R вычисляется следующим образом:
|
|
.
Теперь, решая уравнение , получим . Отсюда .
Ответ: .
Пример 2.2.29. Заданы следующие характеристики двумерного нормального вектора : , , , , . 1) Записать выражения для плотности распределения вероятностей и условных плотностей компонент , . 2) Составить уравнения регрессий Y на x и X на y. 3) Найти условные дисперсии компонент X и Y.
Решение. 1) По определению двумерного нормального вектора:
.
С учетом того, что , , , , , выражение для примет вид:
.
Условные законы распределения случайных величин X и Y:
,
.
2) Условные математические ожидания равны:
,
.
Таким образом, уравнение регрессии X на y имеет вид , а уравнение регрессии Y на x имеет вид .
3) Условные дисперсии равны:
,
.
Ответ: 1) ,
, .
2) Уравнение регрессии X на y: , уравнение регрессии Y на x: . 3) , .