Определение. Условным математическим ожиданием одной из случайных величин, входящих в двумерный случайный вектор , называется ее математическое ожидание, вычисленное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.
Если случайные величины X и Y дискретны, то условные математические ожидания вычисляются по формулам:
, .
Если случайные величины X и Y непрерывны, то условные математические ожидания вычисляются по формулам:
, .
Определение. Условное математическое ожидание случайной величины Y при заданном значении , т.е. , называется регрессией Y на x. Условное математическое ожидание случайной величины X при заданном значении , т.е. , называется регрессией X на y.
Графики этих зависимостей от x и y называются линиями регрессии Y на x (рис. 2.2.8 а) и X на y (рис. 2.2.8 б) соответственно.
а б
Рис. 2.2.8.
Пример 2.2.24. Закон распределения случайного вектора задан таблицей:
Y X | |||
0,1 | 0,2 | ||
0,3 | |||
0,1 | 0,3 |
Построить регрессии Y на x и X на y.
Решение. Найдем законы распределения компонент X и Y:
Y X | ||||
0,1 | 0,2 | 0,3 | ||
0,3 | 0,3 | |||
0,1 | 0,3 | 0,4 | ||
0,2 | 0,6 | 0,2 | |
Построим вначале регрессию Y на x.
1) , , , отсюда .
2) , , , отсюда .
3) , , , отсюда .
Графическое изображение регрессии Y на x показано на рис. 2.2.9.
Построим теперь регрессию X на y.
1) , , , отсюда .
2) , , , отсюда .
3) , , , отсюда .
Графическое изображение регрессии X на y показано на рис. 2.2.10.
Для наглядности значения условного математического ожидания на рис. 2.2.9 и 2.2.10 соединены отрезками прямых.
Замечание 1. Для независимых случайных величин линии регрессии Y на x и X на y параллельны координатным осям, т.к. математическое ожидание каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая случайная величина. Линии регрессии могут быть параллельны координатным осям и для зависимых случайных величин, если только математическое ожидание каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая случайная величина.
Замечание 2. По аналогии с условными математическими ожиданиями можно рассматривать условные моменты. Например, условные дисперсии , и т.д.
Пример 2.2.25. В примере 2.2.10 была дана функция плотности :
и найдены условные плотности распределения компонент X и Y (пример 2.2.21):
Найти регрессии Y на x и X на y, а также условные дисперсии компонент X и Y.
Решение. Условные математические ожидания вычисляются по формулам: , . Поэтому
,
.
Заметим, что при вычислении условных математических ожиданий можно было воспользоваться тем, что случайная величина X при условии равномерно распределена на отрезке , а случайная величина Y при условии равномерно распределена на отрезке .
Действительно, для равномерно распределенной на отрезке случайной величины математическое ожидание равно , а дисперсия равна . Отсюда, очевидно, при , при . Тогда условные дисперсии равны:
при ,
при .
Ответ: , при ;
, при .