Условные числовые характеристики случайных векторов. Регрессия

Определение. Условным математическим ожиданием одной из случайных величин, входящих в двумерный случайный вектор , называется ее математическое ожидание, вычисленное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.

Если случайные величины X и Y дискретны, то условные математические ожидания вычисляются по формулам:

, .

Если случайные величины X и Y непрерывны, то условные математические ожидания вычисляются по формулам:

, .

Определение. Условное математическое ожидание случайной величины Y при заданном значении , т.е. , называется регрессией Y на x. Условное математическое ожидание случайной величины X при заданном значении , т.е. , называется регрессией X на y.

Графики этих зависимостей от x и y называются линиями регрессии Y на x (рис. 2.2.8 а) и X на y (рис. 2.2.8 б) соответственно.

а б

Рис. 2.2.8.

Пример 2.2.24. Закон распределения случайного вектора задан таблицей:

Построить регрессии Y на x и X на y.

Решение. Найдем законы распределения компонент X и Y:

Y X
	0,1		0,2	0,3
		0,3		0,3
	0,1	0,3		0,4
	0,2	0,6	0,2	

Построим вначале регрессию Y на x.

1) , , , отсюда .

2) , , , отсюда .

3) , , , отсюда .

Графическое изображение регрессии Y на x показано на рис. 2.2.9.

Построим теперь регрессию X на y.

1) , , , отсюда .

2) , , , отсюда .

3) , , , отсюда .

Графическое изображение регрессии X на y показано на рис. 2.2.10.

Для наглядности значения условного математического ожидания на рис. 2.2.9 и 2.2.10 соединены отрезками прямых.

Замечание 1. Для независимых случайных величин линии регрессии Y на x и X на y параллельны координатным осям, т.к. математическое ожидание каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая случайная величина. Линии регрессии могут быть параллельны координатным осям и для зависимых случайных величин, если только математическое ожидание каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая случайная величина.

Замечание 2. По аналогии с условными математическими ожиданиями можно рассматривать условные моменты. Например, условные дисперсии , и т.д.

Пример 2.2.25. В примере 2.2.10 была дана функция плотности :

и найдены условные плотности распределения компонент X и Y (пример 2.2.21):

Найти регрессии Y на x и X на y, а также условные дисперсии компонент X и Y.

Решение. Условные математические ожидания вычисляются по формулам: , . Поэтому

,

.

Заметим, что при вычислении условных математических ожиданий можно было воспользоваться тем, что случайная величина X при условии равномерно распределена на отрезке , а случайная величина Y при условии равномерно распределена на отрезке .

Действительно, для равномерно распределенной на отрезке случайной величины математическое ожидание равно , а дисперсия равна . Отсюда, очевидно, при , при . Тогда условные дисперсии равны:

при ,

при .

Ответ: , при ;

, при .