Понятие о проекциях

Пусть дан вектор и ось , - угол между вектором и положительным направлением оси . и - основания перпендикуляров, опущенных из точек и соответственно (см. рис. 6).

Определение 15.Проекцией вектора на ось называется длина отрезка оси , взятая со знаком плюс, если вектор образует острый угол с направлением оси, и со знаком минус в противоположном случае.

Теорема 2. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью: .

Следствие. При умножении вектора на некоторое число его проекция умножается на это же число: .

Теорема 3 (о проекции суммы). Проекция суммы некоторого числа векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов: , .

Декартова система координат.

Ортонормированный базис образуют взаимно перпендикулярные векторы , , единичной длины, т.е.

и .

Точка - начало координат . Прямые, проходящие через начало координат в направлении векторов , , , называются осями координат. Векторы , , соответствуют положительному направлению осей координат: , , - оси абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями , , (см. рис. 7).

Определение 16. Прямоугольной системой координат называется совокупность точки () и ортонормированного базиса.

Определение 17. Радиус-вектором произвольной точки по отношению к точке , называется вектор . Точке можно сопоставить упорядоченную тройку чисел () - компоненты ее радиус-вектора: и (см. рис. 8).

Определение 18. Компоненты радиус-вектора точки по отношению к началу координат называют координатами точки в рассматриваемой системе координат.

Координаты вектора совпадают с проекцией вектора на соответствующие оси координат (рис.8):

, , , ,

Согласно рис. 9 имеем: , , , ,

.

Пусть вектор задан координатами крайних точек, и (рис. 10).

Тогда

Следовательно, чтобы определить координаты вектора по координатам крайних точек, надо из координат конца вычесть соответствующие координаты начала: .

Определение 19. Пусть - углы между вектором и соответственно ортами , , (рис. 9), тогда направляющие косинусы вектора определяются по правилу:

,

,

,

Следовательно, сумма квадратов направляющих косинусов равна : .

Пример 1. Даны точки , , , .

Найти координаты и длину вектора .

Решение. Найдем координаты векторов и :

, ,

, .

По правилам действий с векторами, получим:

и }.

Теперь находим длину искомого вектора:

= = .

Пример 2. Даны точки , .

Найти направляющие косинусы вектора .

Решение. Так как , то и направляющие косинусы находятся согласно формулам:

, , .