Геометрическая интерпретация

Для первого игрока: Строим систему координат . По оси O откладываем выигрыш игрока; на отрезке [0,1] по оси Op – его смешанную стратегию.

Ось ординат соответствуют выбору хода . Прямая p=1 соответствует ходу .

Если второй игрок выбирает свой ход , то выигрыш первого игрока определяется отрезком [5, 2].

Если же второй игрок выбирает , то выигрыш первого игрока определяется отрезком [–1, 4].

Рис. 3.1.1

Пусть на каждую смешанную стратегию первого игрока второй игрок отвечает наихудшим образом. Тогда выигрыш первого игрока будет определяться нижней ломаной.

Естественно, чтобы в такой ситуации первый игрок выиграл наибольшую величину, он должен подобрать смешанную стратегию, соответствующую высшей точке этой ломаной - . Абсцисса этой точки определяет оптимальную смешанную стратегию первого игрока, а ордината есть не что иное как цена игры. Это и есть решение системы (3.1.7) – (3.1.8) – (3.1.9).

Для второго игрока:

Строим систему координат . На O откладываем выигрыш игрока, на [0,1] – смешанную стратегию.

Ось ординат соответствует ходу . Прямая q=1 – ходу .

Если первый игрок выбирает ход , то выигрыш второго определяется отрезком [5,-1]; если первый игрок выбирает , то у второго игрока выигрыш на [2,4].

Рис. 3.1.2

Пусть на каждую смешанную стратегию второго игрока первый игрок отвечает наихудшим для него образом.

Тогда при таком поведении первого игрока проигрыш второго определяется верхней ломаной, а наилучшая смешанная стратегия второго игрока будет соответственно нижней точке этой ломаной. Абсцисса точки задает оптимальную смешанную стратегию второго игрока, а ордината – цену игры. Это и есть решение системы (3.1.10) – (3.1.11) – (3.1.12).

Возможны случаи:

Cедловая точка-

седловые точки

Рис.3.1.3 Рис.3.1.4

Геометрическая интерпретация и решение игр и

Пусть игра представлена матрицей А¹ или А²:

(3.1.14)

(3.1.15)

Используя результаты предыдущего пункта, решение этих игр можно свести к решению двух систем из трех уравнений с тремя неизвестными. Перед тем как составить эти системы нужно решить геометрически эти игры.

Пример 3.1.7. а) случай .

Пусть игра задана следующей матрицей:

В системе координат строим отрезки [2,1]; [1,3]; [5,4]; [3,0].

Рис. 3.1.5

Затем строим нижнюю ломаную (это линия наихудшего ответа второго игрока на каждую смешанную стратегию первого), определяем её высшую точку .(см. Рис.3.1.5). По этому графику приближенно можно посчитать - оптимальную смешанную стратегию первого игрока и цену игры . Для нахождения их точного значения определяем, что в точке пересекаются и (соответствующие ходы второго игрока будут активными в ). Следовательно, исходная игра эквивалентна игре .