Нижняя и верхняя цены игры. Седловая точка

Пусть дана игра с помощью матрицы:

(3.1.4)

Антагонистичность матричных игр приводит к определенности, т.е. отсутствию противоречий нормальных игр. Наиболее популярна для каждого из игроков (особенно если розыгрыш производится один раз) является осторожная стратегия.

Определение 6. Нижней ценой игры называется число .

Первый игрок предполагает, что на каждый выбор им строки, второй игрок выберет минимальный элемент в ней, а затем из этих минимальных выбирается наибольший. Соответствующая строка и даст осторожную стратегию. И в результате первый игрок может себе гарантировать выигрыш не меньше .

Определение 7. Верхней ценой игры называется число .

Второй игрок вычисляет в каждом столбце наибольший элемент, а потом из этих чисел выбирает наименьшее. Соответствующий столбец и будет осторожным для второго игрока и при этом гарантирует себе проигрыш не больше .

Пример 3.1.3. Пусть игра дана матрицей:

; ; (3.1.5)

Первый игрок выбирает осторожный ход и гарантирует себе выигрыш 0, а второй осторожный ход – и проигрыш 2. На самом деле, в случае осторожного поведения игроков, первый получит 2.

Нетрудно доказать, что .

Определение 8. Если в некоторой игре , то говорят, что у игры существует седловая точка – это такой элемент , который является минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце . В этом случае осторожная стратегия для игроков является и оптимальной. При разумном поведении соперника ни первому игроку, ни второму игроку нет смысла отклоняться от ходов, приводящих к седловой точке. Говорят, что в этом случае игра имеет цену . В игре может быть несколько седловых точек.

Пример 3.1.4. Пусть игра дана матрицей: