Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: = . =| | · | | • , a = | |· | |· . И так как | | · | | = = | |· | |, как произведение чисел и = , то = .

2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя: (λ ) • = λ( ).

(λ ) • =| |пр λ = λ • | | • пр = λ( ).

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством:

( + ) = + .

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: ² = | |².

²= • = | | • | |cos 0 = | | · | | = | |²

В частности:

Если вектор возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль | |, т. е. = | | ( ≠ ).

Пример.

Найти длину вектора = 3 - 4 , если | | = 2, | | = 3, .

5. Если векторы и (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если , то = 0. Справедливо и обратное утверждение: если = 0 и ≠ ≠ , то .

Так как , то cos φ = cos π/2 = 0. Следовательно, · =| |· | |·0 = 0. Если же · = 0 и | | ≠ 0, | | ≠ 0, то = 0. Отсюда = 90°, т. е. . В частности:

3. Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть заданы два вектора

,

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как много­члены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов единичных :

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.