2015-06-28
2168
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: 
= . =| | · | | • 
, a = | |· | |· 
. И так как | | · | | = = | |· | |, как произведение чисел и = , то = .
2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя: (λ ) • = λ( ).
(λ ) • =| |пр 
λ = λ • | | • пр = λ( ).
3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством:
( + 
) = + .
4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: 2 = | |2.
2= • = | | • | |cos 0 = | | · | | = | |2
В частности: 
Если вектор возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль | |, т. е. 
= | | ( ≠ ).
Пример.
Найти длину вектора = 3 - 4 , если | | = 2, | | = 3, 
.
5. Если векторы и (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если 
, то = 0. Справедливо и обратное утверждение: если = 0 и ≠ 
≠ , то .
Так как 
, то cos φ = cos π/2 = 0. Следовательно, · =| |· | |·0 = 0. Если же · = 0 и | | ≠ 0, | | ≠ 0, то 
= 0. Отсюда 
= 90°, т. е. . В частности: 
3. Выражение скалярного произведения через координаты
Пусть заданы два вектора
, 
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов единичных 
:
 |  |  | |
| | |||
| | |||
| |
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
Пример 6.2. Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин A (-4;-4;4), B (-3;2;2), C (2; 5; 1), D (3;-2;2), взаимно перпендикулярны.
Решение: Составим вектора 
и 
, лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем: = (6;9;-3) и = (6;-4;0). Найдем скалярное произведение этих векторов:
· = 36 - 36 - 0 = 0.
Отсюда следует, что 
. Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны. •
4. Некоторые приложения скалярного произведения
