double arrow

Смешанное произведение в ортонормированном базисе


Даны векторы , , ,

т.е. , ,

Вычислим смешанное произведение

=( )´( )= =

= = =

= = .

. (8.21)

Пример 5.

Вычислим объем тетраэдра DАВС: А(1;2;1), В(4;1;2), С(1;5;3), D(2;3;1).

Решение. .

Найдем координаты , , , на которых построен тетраэдр DАВС, как на ребрах: (3;–1;1), (0;3;2), (1;1;0).

Вычислим смешанное произведение и объем тетраэдра:


Приложения произведений векторов

п/п Вид операции Приложение
Линейная Условие коллинеарности
     
Скалярное произведение Условие перпендикулярности векторов: Если , то векторы перпендикулярны
Скалярное произведение Вычисление угла между векторами
       
Векторное произведение Условие коллинеарности векторов: = .
Векторное произведение Вычисление площади параллелограммов и треугольников, построенных на векторах с общим началом как на сторонах и
Векторное произведение Момент силы
       
Смешанное произведение Вычисление объема параллелепипеда, четырехугольной пирамиды, тетраэдра (треугольной пирамиды), построенных на трех векторах с общим началом, как на ребрах: , ,
Смешанное произведение Определение ориентации векторов в пространстве: Если ( )>0, то тройка векторов , , – правая; если ( )<0, то тройка векторов , , – левая.
Смешанное произведение Условие компланарности трех векторов: Если , то векторы , , компланарны.
Смешанное произведение Установление компланарности четырех точек (принадлежности одной плоскости): Если , то точки А, B, C, D лежат в одной плоскости.
       

Сейчас читают про: