Смешанное произведение в ортонормированном базисе

Даны векторы , , ,

т.е. , ,

Вычислим смешанное произведение

=()´()= =

= = =

= = .

. (8.21)

Пример 5.

Вычислим объем тетраэдра DАВС: А (1;2;1), В (4;1;2), С (1;5;3), D (2;3;1).

Решение. .

Найдем координаты , , , на которых построен тетраэдр DАВС, как на ребрах: (3;–1;1), (0;3;2), (1;1;0).

Вычислим смешанное произведение и объем тетраэдра:

Приложения произведений векторов

п/п	Вид операции	Приложение
	Линейная	Условие коллинеарности
	Скалярное произведение	Условие перпендикулярности векторов: Если , то векторы перпендикулярны
	Скалярное произведение	Вычисление угла между векторами
	Векторное произведение	Условие коллинеарности векторов: = .
	Векторное произведение	Вычисление площади параллелограммов и треугольников, построенных на векторах с общим началом как на сторонах и
	Векторное произведение	Момент силы
	Смешанное произведение	Вычисление объема параллелепипеда, четырехугольной пирамиды, тетраэдра (треугольной пирамиды), построенных на трех векторах с общим началом, как на ребрах: , ,
	Смешанное произведение	Определение ориентации векторов в пространстве: Если ( )>0, то тройка векторов , , – правая; если ( )<0, то тройка векторов , , – левая.
	Смешанное произведение	Условие компланарности трех векторов: Если , то векторы , , компланарны.
	Смешанное произведение	Установление компланарности четырех точек (принадлежности одной плоскости): Если , то точки А, B, C, D лежат в одной плоскости.