Векторное произведение в ортонормированном репере

Даны векторы , ,

т.е. ,

Векторное произведение ортов (см. табл.)

Тогда =()´()=

=

= .

. (8.10)

17. Геометрический смысл векторного произведения:

1) Площадь параллелограмма. – формула площади параллелограмма.

– модуль векторного произведения по определению.

Тогда .

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, равна модулю векторного произведения этих векторов.

,

2) Площадь треугольника: .

Площадь треугольника, построенного на векторах и как на сторонах, равна половине модуля векторного произведения этих векторов.

Пример 2. Вычислим площадь грани АВС тетраэдра DАВС, если А (1;2;1), В (4;1;2), С (1;5;3), D (2;3;1).

Решение. .

Найдем координаты и , на которых построен треугольник АВС, как на сторонах: (4–1;1–2;2–1), (1–1;5–2;3–1), тогда (3;–1;1), (0;3;2).

Вычислим векторное произведение ´ и его длину:

´ (–5;–6;9),

| ´ |= , (кв.ед.).

Механический смысл векторного произведения: Моментом силы относительно точки О называется вектор , имеющий начало в точке О, направленный перпендикулярно к плоскости, определяемой точкой О и вектором . Длина вектора равна произведению длины вектора на плечо h – перпендикуляра, опущенного из точки о на направление вектора ) или , где – радиус-вектор точки приложения силы .