Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними. Обозначается скалярное произведение векторов и так: или (, ). Следовательно: = cosφ, отсюда cosφ= .

Скалярным произведением двух векторов, заданных в координатной форме, называется число равное сумме произведений одноименных координат.

Пусть на плоскости OXY заданы векторы =(a₁, a₂) и =(b₁, b₂), их скалярное произведение =a₁b₁+a₂b₂.

Аналогично находится скалярное произведение векторов: =(x₁, x₂,…, x_n) и =(y₁, y₂,…, y_n).

=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n.

Свойства скалярного произведения:

- (переместительный закон),

- (распределительный закон),

- (сочетательный закон по отношению к скалярному множителю λ),

- или , откуда ,

- если , то или один из векторов нулевой.

Угол φ между векторами =(x₁, x₂,…, x_n) и =(y₁, y₂,…, y_n) найдем по формуле:

.

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов =(-1; 0; 7) и =(-3; 1; 5).

Решение. =-1(-3)+0∙1+7∙5=38.

Пример 2. Найти угол φ между векторами =(0; 6; -2) и =(2; 2; -8).

Решение. Угол φ найдем используя формулу: