Рассмотрим два вектора и . Подберем векторы и . Тогда, по определению, вектор , то есть нужно начало вектора приставить к концу вектора , и вектор, соединяющий начало и конец , будет равен .
Нетрудно доказать корректность нашего определения, то есть, что результат не зависит от выбора начальной точки , от которой мы начинаем свое построение.
Сложение векторов коммутативно, то есть для любых векторов и будут равны векторы и . Проверяя это свойство, мы заодно получим «правило параллелограмма» сложения векторов применяемое в механике:
Сложение векторов также обладает свойством ассоциативности, то есть для любых векторов , и выполнено равенство: , так что скобки можно вообще не ставить: