Координаты векторов на плоскости

Рассмотрим плоскость, на которой введена декартова система координат для точек. Рассмотрим вектор на этой плоскости.

Обозначим (проекция на ось Ох) вектор, лежащий на оси абсцисс и соединяющий точки и , являющиеся, соответственно, проекциями точек и на ось Ох. Пусть - это координата вектора на оси Ох. Аналогично определяется (проекция на ось Оу) вектор, лежащий на оси ординат и соединяющий точки и , являющиеся, соответственно, проекциями точек и на ось Оу. Пусть - это координата вектора на оси Оу. Координаты вектора - это упорядоченная пара чисел , запись означает, что вектор имеет координаты .

Пусть известны координаты точек и , тогда абсциссы точек и совпадают, соответственно, с абсциссами точек и , следовательно . Рассуждая аналогично, получим, что . Отсюда вытекает формула для координат вектора :

.

Если разместить вектор началом в начале координат, то можно увидеть, что .

Вектор на плоскости выражает смещение, его координаты – числовые величины этого смещения вдоль осей координат.

Рассмотрим два вектора , и число , тогда

, и

,

то есть при сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Для доказательства этого достаточно представить векторы как суммы , . Тогда (для суммы) . Очевидно, что , и , поэтому . Аналогично доказываются остальные равенства (для разности и умножения на число).