Скалярное произведение векторов. Рассмотрим два вектора , обозначим буквой угол между ними

Рассмотрим два вектора , обозначим буквой угол между ними. Скалярное произведение двух векторов – это число, обозначаемое (точка может отсутствовать), или , и сопоставляемое указанной паре векторов по формуле .

Скалярное умножение, очевидно, коммутативно: .

Непосредственно из определения вытекает, что

Будем обозначать скалярный квадрат вектора записью . Таким образом: , и .

Также из определения скалярного произведения вытекает условие перпендикулярности: два вектора будут перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Заметим, что если , то угол между векторами острый, если – угол тупой.

Косинус угла между векторами может быть выражен через скалярное произведение:

Определим проекции векторов друг на друга равенствами:

Теперь скалярное произведение может быть выражено через проекции, а именно:

.

Также и проекции могут быть выражены через скалярное произведение:

Нетрудно проверить свойства проекций:

,

.

Эти свойства выполнены для любых векторов и для любого числа .

Из свойств проекций вытекают свойства скалярного произведения:

,

Докажем первое равенство: .